Calcule:
integral duplaB 1+x^21+y^2 d x d y onde B é o retângulo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral duplaB 1+x^21+y^2 , dx , dy, onde B é o retângulo definido por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. O conteúdo que vamos usar aqui é de integrais duplas e integração por partes. Precisamos entender como separar a integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a função dentro da integral pode ser separada em duas partes: uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de y. Então, podemos reescrever a expressão assim:
1+x^21+y^2 = (1 + x^2) cdot 11 + y^2
Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente. Primeiro, a integral em relação a x:
integral0^1 (1 + x^2) , dx
Resolvendo isso, temos:
integral (1) , dx = x e integral x^2 , dx = x^33
Então:
[ x + x^33 ]0^1 = (1 + 13) - (0 + 0) = 43

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em relação a y:
integral0^1 11 + y^2 , dy
Sabemos que a integral de 11 + y^2 é arctan(y), então:
[ arctan(y) ]0^1 = arctan(1) - arctan(0) = pi4 - 0 = pi4

Passo 5

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais para obter a resposta final:
43 times pi4 = pi3

Resposta

integral duplaB 1+x^21+y^2 , dx , dy = pi3

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