Calcule integralr f(x, y, z) d s, onde
f(x, y, z)=x+y+z e r(t) é o segmento de reta de (1,2,3) a (0,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha escalar
integralvec rf(x,y,z),ds
onde f(x,y,z)=x+y+z e vec r é o segmento de reta de A=(1,2,3) até B=(0,-1,1).
O conteúdo é a definição de integral de linha de uma função escalar, que usa uma parametrização vec r(t), a norma de vec r'(t) e a expressão ds=|vec r'(t)|,dt.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta ligando A a B por
vec r(t)=A+t,(B-A) =l(1-t,;2-3t,;3-2tr), tin[0,1]

Passo 3

Calculamos a derivada e sua norma para obter ds:
vec r,'(t)=(-1,,-3,,-2), |vec r,'(t)|=raiz(-1)^2+(-3)^2+(-2)^2=raiz14
Logo ds=|vec r,'(t)|,dt=raiz14,dt.

Passo 4

Avaliamo-s f ao longo da curva:
fl(r(t)r) = (1 - t) + (2 - 3t) + (3 - 2t) = 6 - 6t = 6(1 - t)

Passo 5

Montamos a integral em t:
integralvec rf,ds =integral0^1fl(vec r(t)r),|vec r,'(t)|,dt =integral0^16(1-t),raiz14,dt =6raiz14integral0^1(1-t),dt
Como
integral0^1(1-t),dt =l[t-tfract^22r]0^1 =1-tfrac12 =tfrac12,
segue
integralvec rf,ds =6raiz14cdottfrac12 =3raiz14

Resposta

3raiz14

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