Encontre as equações paramétricas da curva dada.
, transladada de tal modo que seu mínimo ocorra em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas de uma curva parabólica que foi movida de forma que seu ponto mínimo fique em
. O assunto aqui é transformação de gráficos, especificamente translação de parábolas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a equação de uma parábola se altera quando a gente move ela no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação básica da parábola que é
. Nessa forma, a parábola tem seu ponto mínimo na origem, ou seja, no ponto
. A equação está na forma padrão onde o vértice da parábola é exatamente esse ponto mínimo.
Passo 3
Como queremos transladar a parábola para que o mínimo fique em
, precisamos ajustar a equação para refletir essa mudança. A translação de uma parábola envolve mover o gráfico horizontal e/ou verticalmente.
Passo 4
Para mover a parábola horizontalmente, substituímos
por
na equação, onde
é a deslocação na direção
. Da mesma forma, para mover verticalmente, adicionamos ou subtraímos
na equação, onde
é a deslocação na direção
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa parábola
, queremos que o vértice vá de
para
. Isso significa que
(movimento para a esquerda) e
(movimento para baixo).
Passo 6
Substituindo esses valores na equação de translação, ficamos com:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações paramétricas dessa parábola. Podemos usar um parâmetro, digamos
, para expressar
e
em termos de
. Uma forma simples de fazer isso é definir
em termos de
e então substituir na equação de
.
Passo 8
Definindo:
Então, substituindo na equação da parábola:
Resposta
As equações paramétricas da curva são: