Encontre as equações paramétricas da curva dada.
y=x^2, transladada de tal modo que seu mínimo ocorra em (-4,-8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas de uma curva parabólica que foi movida de forma que seu ponto mínimo fique em (-4, -8). O assunto aqui é transformação de gráficos, especificamente translação de parábolas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a equação de uma parábola se altera quando a gente move ela no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação básica da parábola que é y = x^2. Nessa forma, a parábola tem seu ponto mínimo na origem, ou seja, no ponto (0, 0). A equação está na forma padrão onde o vértice da parábola é exatamente esse ponto mínimo.

Passo 3

Como queremos transladar a parábola para que o mínimo fique em (-4, -8), precisamos ajustar a equação para refletir essa mudança. A translação de uma parábola envolve mover o gráfico horizontal e/ou verticalmente.

Passo 4

Para mover a parábola horizontalmente, substituímos x por (x - h) na equação, onde h é a deslocação na direção x. Da mesma forma, para mover verticalmente, adicionamos ou subtraímos k na equação, onde k é a deslocação na direção y.

Passo 5

Aplicando isso à nossa parábola y = x^2, queremos que o vértice vá de (0, 0) para (-4, -8). Isso significa que h = -4 (movimento para a esquerda) e k = -8 (movimento para baixo).

Passo 6

Substituindo esses valores na equação de translação, ficamos com:
y = (x - (-4))^2 + (-8)
Simplificando:
y = (x + 4)^2 - 8

Passo 7

Agora, vamos encontrar as equações paramétricas dessa parábola. Podemos usar um parâmetro, digamos t, para expressar x e y em termos de t. Uma forma simples de fazer isso é definir x em termos de t e então substituir na equação de y.

Passo 8

Definindo:
x = t - 4
Então, substituindo na equação da parábola:
y = (t - 4 + 4)^2 - 8 = t^2 - 8

Resposta

As equações paramétricas da curva são:
x = t - 4
y = t^2 - 8

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