Encontre as equações paramétricas da curva dada.
, transladada de tal modo que um máximo ocorra em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da curva
que foi transladada de modo que um máximo dessa curva esteja no ponto
.
Para isso, vamos usar conceitos de translação de gráficos e equações paramétricas. A translação envolve mover a curva sem alterar sua forma, e as equações paramétricas nos permitem descrever a curva usando um parâmetro, geralmente representado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva original
. Essa é a função cosseno padrão, que tem:
- Amplitude: 1
- Período:
- Máximos:
quando - Mínimos:
quando
Nosso objetivo é transladar essa curva para que um desses pontos máximos esteja no ponto
.
Passo 3
Para transladar a curva, precisamos mover o gráfico do cosseno para a direita ou esquerda e para cima ou para baixo. A fórmula geral para translação é:
Onde:
-
é a translação horizontal (direita se positivo, esquerda se negativo) -
é a translação vertical (cima se positivo, baixo se negativo)
Como queremos que o máximo ocorra em
:
- O máximo da função cosseno ocorre quando
, ou seja, na curva original. - Queremos que esse ponto máximo agora esteja em
, então nossa translação horizontal será 3. - Também queremos que o valor de
nesse ponto seja 5, então a translação vertical será 5.
Passo 4
Aplicando esses valores na fórmula de translação:
Essa é a equação da curva transladada. Agora, precisamos escrever as equações paramétricas dessa curva. Em equações paramétricas, geralmente usamos um parâmetro, como
, para representar
e
em função desse parâmetro.
Passo 5
Vamos usar [t) como o parâmetro que representa
. Assim, podemos escrever:
Essas são as equações paramétricas da curva .
Resposta
As equações paramétricas da curva transladada são: