Encontre as equações paramétricas da curva dada.
y=cos x, transladada de tal modo que um máximo ocorra em (3,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da curva y = cos x que foi transladada de modo que um máximo dessa curva esteja no ponto (3, 5) .
Para isso, vamos usar conceitos de translação de gráficos e equações paramétricas. A translação envolve mover a curva sem alterar sua forma, e as equações paramétricas nos permitem descrever a curva usando um parâmetro, geralmente representado por t .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva original y = cos x . Essa é a função cosseno padrão, que tem:
  • Amplitude: 1
  • Período: 2pi
  • Máximos: y = 1 quando x = 0, 2pi, 4pi, dots
  • Mínimos: y = -1 quando x = pi, 3pi, 5pi, dots
Nosso objetivo é transladar essa curva para que um desses pontos máximos esteja no ponto (3, 5) .

Passo 3

Para transladar a curva, precisamos mover o gráfico do cosseno para a direita ou esquerda e para cima ou para baixo. A fórmula geral para translação é:
y = cos(x - h) + k
Onde:
  • h é a translação horizontal (direita se positivo, esquerda se negativo)
  • k é a translação vertical (cima se positivo, baixo se negativo)
Como queremos que o máximo ocorra em (3, 5) :
  • O máximo da função cosseno ocorre quando cos(x) = 1 , ou seja, x = 0 na curva original.
  • Queremos que esse ponto máximo agora esteja em x = 3 , então nossa translação horizontal h será 3.
  • Também queremos que o valor de y nesse ponto seja 5, então a translação vertical k será 5.

Passo 4

Aplicando esses valores na fórmula de translação:
y = cos(x - 3) + 5
Essa é a equação da curva transladada. Agora, precisamos escrever as equações paramétricas dessa curva. Em equações paramétricas, geralmente usamos um parâmetro, como t , para representar x e y em função desse parâmetro.

Passo 5

Vamos usar [t) como o parâmetro que representa . Assim, podemos escrever:
Essas são as equações paramétricas da curva .

Resposta

As equações paramétricas da curva transladada são:
x(t) = t y(t) = cos(t - 3) + 5

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