Calcule integralC e^x sen(y) d x+[e^x cos (y)+x] d y, onde C é o semi-círculo: x^2+y^2=1, y >= 0 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular uma integral ao longo de uma curva C , que é o semicírculo definido por x^2 + y^2 = 1 com y >= 0 , e orientado no sentido anti-horário. A integral que precisamos calcular é:
integralC e^x sin(y) , dx + [e^x cos(y) + x] , dy
Para resolver isso, vamos usar Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao longo de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que ela delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e verificar se ele pode ser utilizado nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, temos a função M(x, y) = e^x sin(y) multiplicada por dx e N(x, y) = e^x cos(y) + x multiplicada por dy .
Agora, o Teorema de Green nos diz que, para uma curva C que é simples, fechada e positivamente orientada (anti-horária), a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região D que C delimita:
ointC (M , dx + N , dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dx , dy
No nosso caso, a curva C é apenas um semicírculo. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos que C seja uma curva fechada. Então, vamos fechar a curva adicionando o segmento de reta no eixo x de x = -1 a x = 1 .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green. Essas são:
partial Npartial x = partialpartial x ( e^x cos(y) + x ) = e^x cos(y) + 1
partial Mpartial y = partialpartial y ( e^x sin(y) ) = e^x cos(y)
Agora, a diferença entre essas derivadas é:
partial Npartial x - partial Mpartial y = (e^x cos(y) + 1) - e^x cos(y) = 1

Passo 4

Com isso, a integral dupla sobre a região D fica bem simples:
integral duplaD 1 , dx , dy = Área de D Á
A região D é o semicírculo de raio 1 no plano xy , então a área é metade da área de um círculo completo de raio 1. Sabemos que a área de um círculo é pi r^2 , então:
Área de D = 12 pi (1)^2 = pi2 Á

Passo 5

Agora, lembrando que fechamos a curva C adicionando o segmento de reta no eixo x , precisamos considerar essa parte também. Mas, ao calcular a integral de linha sobre o caminho fechado, a contribuição do segmento de reta será subtraída da integral total. No entanto, como a função que estamos integrando é tal que a integral sobre o segmento de reta (de x = -1 a x = 1 com y = 0 ) será zero, pois dy = 0 e y = 0 , simplificamos nossa conta.
Portanto, a integral de linha original sobre o semicírculo C é igual à área da região D :
ointC (M , dx + N , dy) = pi2

Resposta

A integral vale dfracpi2 .

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