Calcule
, onde
é o semi-círculo:
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular uma integral ao longo de uma curva
, que é o semicírculo definido por
com
, e orientado no sentido anti-horário. A integral que precisamos calcular é:
Para resolver isso, vamos usar Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao longo de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que ela delimita. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e verificar se ele pode ser utilizado nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, temos a função
multiplicada por
e
multiplicada por
.
Agora, o Teorema de Green nos diz que, para uma curva
que é simples, fechada e positivamente orientada (anti-horária), a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
que
delimita:
No nosso caso, a curva
é apenas um semicírculo. Para aplicar o Teorema de Green, precisamos que
seja uma curva fechada. Então, vamos fechar a curva adicionando o segmento de reta no eixo
de
a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green. Essas são:
Agora, a diferença entre essas derivadas é:
Passo 4
Com isso, a integral dupla sobre a região
fica bem simples:
A região
é o semicírculo de raio 1 no plano
, então a área é metade da área de um círculo completo de raio 1. Sabemos que a área de um círculo é
, então:
Passo 5
Agora, lembrando que fechamos a curva
adicionando o segmento de reta no eixo
, precisamos considerar essa parte também. Mas, ao calcular a integral de linha sobre o caminho fechado, a contribuição do segmento de reta será subtraída da integral total. No entanto, como a função que estamos integrando é tal que a integral sobre o segmento de reta (de
a
com
) será zero, pois
e
, simplificamos nossa conta.
Portanto, a integral de linha original sobre o semicírculo
é igual à área da região
:
Resposta
A integral vale
.