Resolva a equação da onda para uma corda tensionada, de comprimento [L), com ambos os extremos fixos e com a seguinte condição inicial:
Obs.: Encontre os coeficientes (A_{n}].

Passo 1

O problema é a equação da onda numa corda de comprimento
e condições iniciais
O objetivo é achar os coeficientes (A_n] da expansão em séries de senos.]

Passo 2

Pela separação de variáveis e uso da base sin(npi x/L), a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r]sin!l(tfracnpi xLr),
onde omegan=c,npi/L. Como ut(x,0)=0, temos Bn=0 para todo n.

Passo 3

Fica então
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpi xLr) =phi(x)
Pela ortogonalidade dos senos,
An=2Lintegral0^Lphi(x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Defina alpha=npi/L. Então
integral0^Lphi(x)sin(alpha x),dx =integral0^L/22hLxsin(alpha x),dx +integralL/2^L2hL(L-x)sin(alpha x),dx
Fazendo integração por partes em cada termo, obtém-se
integral0^Lphi(x)sin(alpha x),dx =4h,Ln^2pi^2,sin!l(tfracnpi2r)

Passo 5

Logo
An=2L,4h,Ln^2pi^2,sin!l(tfracnpi2r) =8hn^2pi^2,sin!l(tfracnpi2r)

Resposta

An=8hn^2pi^2,sin!l(npi2r)

Exercícios relacionados