Calcule as seguintes integrais de linha ao longo dos respectivos caminhos indicados:
F(x, y, z)=x imath+y z jmath+(x z-y) k, ao longo do segmento de reta que liga (0,-1,1) e (6,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da campo vetorial
F(x,y,z)=x,hatimath + y z,hatjmath + (x z - y),hat k
ao longo do segmento de reta que vai de A=(0,-1,1) até B=(6,2,3).
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial. Vamos parametrizar a reta e aplicar
integralC vec Fcdot dvec r.

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
vec r(t)=A+t(B-A)=(0,-1,1)+t(6,3,2),, tin[0,1],
isto é
x(t)=6t, y(t)=-1+3t, z(t)=1+2t,
e
vec r,'(t)=(6,3,2)

Passo 3

A integral de linha fica
integralCvec Fcdot dvec r ;=;integral0^1vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t),dt
Calculamos em cada componente:
x,hatimathcdotvec r,'=x(t)cdot6=36t,
y z,hatjmathcdotvec r,'=3l(y(t)z(t)r) =3l((-1+3t)(1+2t)r)=-3+3t+18t^2,
(xz-y),hat kcdotvec r,'=2l(6t(1+2t)-(-1+3t)r) =2l(1+3t+12t^2r)=2+6t+24t^2
Somando tudo obtemos o integrando
36t +(-3+3t+18t^2)+(2+6t+24t^2) =42t^2+45t-1

Passo 4

Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1(42t^2+45t-1),dt =l[14t^3+tfrac452t^2-tr]0^1 =14+tfrac452-1 = tfrac282+tfrac452-tfrac22 =tfrac712

Resposta

712

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