Calcule
ointC F cdot d r
onde F(x, y)=3 y imath+(x^2-y) jmath, onde C=C1 cup C2, onde C1 é a semicircunferência superior de raio 1, centrada na origem, sentido anti-horário, e C2 é a porção da parábola y=x^2-1, de x=-1 a x=1. (Resposta: ointC F cdot d r=-3 pi2-4).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha fechado
ointC Fcdot dr
para F(x,y) = 3y,hatimath + (x^2 - y),hatjmath, onde C=C1cup C2 é a curva fechada que consiste da semicircunferência superior de raio 1 (sentido anti-horário) unida à porção da parábola y=x^2-1 de x=-1 a x=1.
Conteúdo: aplicação do Teorema de Green para converter o integral de linha em integral dupla sobre a região R delimitada por C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointC Fcdot dr =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=3y e Q(x,y)=x^2-y. Calculamos:
partial Qpartial x=2x, partial Ppartial y=3
Logo o integrando é 2x-3.

Passo 3

Portanto
ointCFcdot dr =integral duplaR(2x-3),dA =2integral duplaRx,dA ;-;3integral duplaR1,dA
Como R é simétrica em x, tem-se integral duplaRx,dA=0. Assim
ointCFcdot dr =-3,Area(R)

Passo 4

Agora calculamos Area(R). Para -1<= x<=1, a fronteira superior é
yrm sup=raiz1-x^2
e a inferior é
yrm inf=x^2-1.
Logo
Area(R) =integral-1^1l[raiz1-x^2;-;(x^2-1)r],dx

Passo 5

Separando em dois integrais:
integral-1^1raiz1-x^2,dx =pi2,
pois é a área de meia circunferência de raio 1, e
integral-1^1(x^2-1),dx =l[tfracx^33-xr]-1^1 =l(tfrac13-1r)-l(-tfrac13+1r) =-tfrac43
Portanto
Area(R) =pi2-l(-tfrac43r) =pi2+43

Passo 6

Substituindo em ointCFcdot dr=-3,Area(R), vem
ointCFcdot dr =-3l(pi2+43r) =-3pi2-4

Resposta

ointCFcdot dr =-3pi2-4

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