Calcule
onde
, onde
, onde
é a semicircunferência superior de raio 1, centrada na origem, sentido anti-horário, e
é a porção da parábola
, de
a
. (Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha fechado
para
, onde
é a curva fechada que consiste da semicircunferência superior de raio
(sentido anti-horário) unida à porção da parábola
de
a
.
Conteúdo: aplicação do Teorema de Green para converter o integral de linha em integral dupla sobre a região delimitada por
.
Conteúdo: aplicação do Teorema de Green para converter o integral de linha em integral dupla sobre a região
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
onde
e
. Calculamos:
Logo o integrando é
.
Passo 3
Portanto
Como
é simétrica em
, tem-se
. Assim
Passo 4
Agora calculamos
. Para
, a fronteira superior é
e a inferior é
.
Logo
e a inferior é
Logo
Passo 5
Separando em dois integrais:
pois é a área de meia circunferência de raio
, e
Portanto
Passo 6
Substituindo em
, vem