Exercício 1. Utilizando o método de separação de variáveis, resolva as EDOs abaixo:
csc y d y+sec ^2 x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
csc y,dy + sec^2 x,dx = 0
e pede para resolver pelo método de separação de variáveis. Vamos separar as variáveis x e y e usar integrais de funções trigonométricas para encontrar a solução geral.

Passo 2

Separe as variáveis, colocando os termos com y de um lado e os termos com x do outro:
csc y,dy = -,sec^2 x,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral csc y,dy ;=;integral -,sec^2 x,dx
Recordando as primitivas
integral csc y,dy = lnl|tanl(tfrac y2r)r| + C1, integral sec^2 x,dx = tan x + C2,
temos
lnl|tanl(tfrac y2r)r| = -tan x + C,
onde C = C2 - C1 é a constante geral de integração.

Passo 4

Escrevendo a solução implícita de forma limpa:
lnl|tanl(tfrac y2r)r| + tan x = C
Se preferir a forma explícita para tan(y/2), exponencie:
tanl(tfrac y2r) = tilde C,e^-tan x,
com tilde C = e^C.

Resposta

lnl|tanl(tfrac y2r)r| + tan x = C
ou equivalentemente
tanl(tfrac y2r) = C',e^-tan x

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