Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(c) (1+i raiz3)^1000

Passo 1

O enunciado pede escrever o número complexo (1 + iraiz3)^1000 na forma trigonométrica e representar geometricamente o resultado. Vamos usar a forma trigonométrica de um número complexo e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo r e o argumento theta de
z = 1 + iraiz3
O módulo é
r = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2,
e o argumento, no intervalo (0,2pi), é
theta = arctan!l(tfracraiz31r) = tfracpi3

Passo 3

Portanto, na forma trigonométrica temos
1 + iraiz3 = 2l(cos(tfracpi3) + isin(tfracpi3)r)

Passo 4

Aplicando o Teorema de De Moivre para elevar à potência 1000, obtemos
(1 + iraiz3)^1000 = 2^1000l[cosl(1000cdottfracpi3r) + isinl(1000cdottfracpi3r)r]

Passo 5

Simplificamos o argumento:
1000cdottfracpi3 = 333pi + tfracpi3
Como 333 é ímpar, temos cos(333pi + alpha) = -cos(alpha) e sin(333pi + alpha) = -sin(alpha). Logo
cosl(333pi + tfracpi3r) + isinl(333pi + tfracpi3r) = cosl(pi + tfracpi3r) + isinl(pi + tfracpi3r) = cosl(tfrac4pi3r) + isinl(tfrac4pi3r)

Passo 6

Portanto a forma trigonométrica final é
(1 + iraiz3)^1000 = 2^1000l(cos(tfrac4pi3) + isin(tfrac4pi3)r)
Geometricamente, esse número está sobre o raio que faz ângulo tfrac4pi3 com o eixo real positivo, à distância 2^1000 da origem (no terceiro quadrante).

Resposta

(1 + iraiz3)^1000 = 2^1000l(cos(tfrac4pi3) + isin(tfrac4pi3)r)
Representação geométrica: ponto de módulo 2^1000 e argumento tfrac4pi3.

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