Calcule o volume do sólido limitado:
Por z=2 x^2+2 y^2 e z=48-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 2x^2 + 2y^2 e z = 48 - x^2 - y^2.
O conteúdo é cálculo de volume por integração dupla, encontrando a projeção no plano xy e integrando a diferença entre as superfícies.

Passo 2

Para achar a região de projeção, igualamos as duas superfícies:
2x^2 + 2y^2 = 48 - x^2 - y^2
3x^2 + 3y^2 = 48
x^2 + y^2 = 16
É um disco de raio 4 no plano xy: (x,y)mid x^2+y^2<=16.

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaprojeçãol(underbrace(48 - x^2 - y^2)superfície de cima ;-;underbrace(2x^2 + 2y^2)superfície de baixor),dA çãíí
V = integral duplax^2+y^2<=16l(48 - 3x^2 - 3y^2r),dA

Passo 4

Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) temos x^2+y^2=r^2 e dA = r,dr,dtheta. Então
V = integral0^2pi!integral0^4l(48 - 3r^2r),r,dr,dtheta
Calculando a integral em r:
integral0^4(48r - 3r^3),dr = l[24r^2 - tfrac34r^4r]0^4 = 24cdot16 - tfrac34cdot256 = 384 - 192 = 192
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V = integral0^2pi192,dtheta = 192cdot2pi = 384pi

Resposta

V = 384pi.

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