Seja F o campo vetorial em R^2-(0,0) dado por F(x, y)=(-y, x)x^2+y^2.
Verifique que o rotacional escalar de F é nulo em todo ponto de R^2-(0,0).

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial F(x, y) = (-y, x)x^2 + y^2 definido em R^2 menos o ponto (0,0). O objetivo aqui é mostrar que o rotacional escalar desse campo ( rot, F) é igual a zero em todo ponto onde o campo está definido. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional escalar e como calcular ele para campos vetoriais em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional escalar. Em duas dimensões, o rotacional de um campo vetorial F = (P, Q) é dado por:
rot, F = partial Qpartial x - partial Ppartial y
Esse valor nos diz se o campo tem uma tendência de “girar” em torno de um ponto.

Passo 3

Agora, vamos identificar P e Q no nosso campo F(x, y) = (-y, x)x^2 + y^2. Assim:
P = -yx^2 + y^2 e Q = xx^2 + y^2

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x. Sabemos que:
Q = xx^2 + y^2
Usando a regra do quociente, temos:
partial Qpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Ppartial y. Sabemos que:
P = -yx^2 + y^2
Novamente, aplicando a regra do quociente:
partial Ppartial y = (-1)(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Agora que temos partial Qpartial x e partial Ppartial y, podemos calcular o rotacional escalar:
rot, F = partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0

Resposta

O rotacional escalar de F é nulo em todo ponto de R^2 - (0,0).

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