Seja
o campo vetorial em
dado por
.
Verifique que o rotacional escalar de
é nulo em todo ponto de
.
Verifique que o rotacional escalar de
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial
definido em
menos o ponto
. O objetivo aqui é mostrar que o rotacional escalar desse campo (
) é igual a zero em todo ponto onde o campo está definido. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional escalar e como calcular ele para campos vetoriais em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional escalar. Em duas dimensões, o rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Esse valor nos diz se o campo tem uma tendência de “girar” em torno de um ponto.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
no nosso campo
. Assim:
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que:
Usando a regra do quociente, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos calcular o rotacional escalar:
Resposta
O rotacional escalar de
é nulo em todo ponto de
.