a) Suponha que
seja um polinômio de grau
, com coeficientes inteiros, isto é,
são números inteiros. Seja
um número inteiro. Prove que se
for uma raiz de
, então
será um divisor do termo independente
.
Passo 1
O enunciado dá um polinômio
com
e todos os
inteiros, e diz que
é raiz de
. O conteúdo é divisibilidade em inteiros e o que vamos usar é que, se um inteiro
satisfaz
, podemos reescrever essa igualdade de forma a ver que
divide
.
Passo 2
Como
é raiz, temos
Isolando
, obtemos
Passo 3
Note que cada termo
é múltiplo de
, pois
. Assim o parêntese em que aparece
é um inteiro, digamos
. Logo
com
. Isso mostra exatamente que
divide
.
Resposta
Se
é raiz inteira de
, então
.