a) Suponha que P(x)=an x^n+an-1 x^n-1+cdots+a1 x+a0 seja um polinômio de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 neq 0, a1, a2, ldots, an são números inteiros. Seja alpha um número inteiro. Prove que se alpha for uma raiz de P(x), então alpha será um divisor do termo independente a0.

Passo 1

O enunciado dá um polinômio
P(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0,
com a0neq0 e todos os ai inteiros, e diz que alphainZ é raiz de P. O conteúdo é divisibilidade em inteiros e o que vamos usar é que, se um inteiro alpha satisfaz P(alpha)=0, podemos reescrever essa igualdade de forma a ver que alpha divide a0.

Passo 2

Como alpha é raiz, temos
P(alpha)=analpha^n+an-1alpha^n-1+cdots+a1alpha+a0=0
Isolando a0, obtemos
a0=-l(analpha^n+an-1alpha^n-1+cdots+a1alphar)

Passo 3

Note que cada termo akalpha^k é múltiplo de alpha, pois akinZ. Assim o parêntese em que aparece alpha é um inteiro, digamos Q. Logo
a0=-alpha,Q,
com QinZ. Isso mostra exatamente que alpha divide a0.

Resposta

Se alpha é raiz inteira de P(x), então alphamid a0.

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