Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cálculo integral, mais especificamente, vamos calcular a integral de uma fração racional usando frações parciais. A equação que precisamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar algumas regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fração que temos:
. Perceba que o grau do numerador (x, grau 1) é igual ao grau do denominador (x - 6, grau 1). Quando isso acontece, o primeiro passo é fazer uma divisão polinomial ou simplificar a fração.
Vamos reescrever a fração dessa forma:
Isso porque:
Passo 3
Agora que simplificamos a fração, nossa integral fica mais fácil:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Aqui, usamos a regra de que
.
Passo 5
Juntando as duas partes, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para verificar se nossos cálculos estão corretos, vamos derivar o resultado obtido:
Simplificando:
Isso confirma que nossa integral está correta!
Resposta
A integral de
é: