Nos problemas a seguir, determine a integral usando frações parciais e verifique se os cálculos estão corretos derivando o resultado.
integral xx-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cálculo integral, mais especificamente, vamos calcular a integral de uma fração racional usando frações parciais. A equação que precisamos resolver é:
integral xx - 6 , dx
Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar algumas regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração que temos: xx - 6. Perceba que o grau do numerador (x, grau 1) é igual ao grau do denominador (x - 6, grau 1). Quando isso acontece, o primeiro passo é fazer uma divisão polinomial ou simplificar a fração.
Vamos reescrever a fração dessa forma:
xx - 6 = 1 + 6x - 6
Isso porque:
x = (x - 6) + 6 Rightarrow xx - 6 = (x - 6) + 6x - 6 = 1 + 6x - 6

Passo 3

Agora que simplificamos a fração, nossa integral fica mais fácil:
integral xx - 6 , dx = integral (1 + 6x - 6) , dx
Vamos separar a integral em duas partes:
integral 1 , dx + integral 6x - 6 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais:
  1. Primeira integral:
integral 1 , dx = x + C1
  1. Segunda integral:
integral 6x - 6 , dx = 6 integral 1x - 6 , dx = 6 ln |x - 6| + C2
Aqui, usamos a regra de que integral 1u , du = ln |u| + C.

Passo 5

Juntando as duas partes, temos:
integral xx - 6 , dx = x + 6 ln |x - 6| + C
Onde C = C1 + C2 é a constante de integração.

Passo 6

Para verificar se nossos cálculos estão corretos, vamos derivar o resultado obtido:
ddx ( x + 6 ln |x - 6| + C ) = 1 + 6 cdot 1x - 6 cdot 1 = 1 + 6x - 6
Simplificando:
1 + 6x - 6 = (x - 6) + 6x - 6 = xx - 6
Isso confirma que nossa integral está correta!

Resposta

A integral de xx - 6, dx é:
x + 6 ln |x - 6| + C

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