Calcule
integralegral triplaW z d V
onde W é o sólido dos pontos que ficam acima do cone de equação z^2=3(x^2+y^2) , abaixo da superfície de equação z=raiz4-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaW z,dV
onde W é o sólido delimitado por:
– acima do cone de equação z^2=3(x^2+y^2),
– abaixo da superfície z=raiz4-x^2-y^2.
O método mais natural aqui é usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), pois as duas superfícies têm simetria de revolução em torno do eixo z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
e as superfícies ficam
cone: z = raiz3,r, hemisfério: z = raiz4 - r^2 é
O domínio W satisfaz
raiz3,r <= z <= raiz4 - r^2
Para encontrar o valor máximo de r, igualamos as duas superfícies:
raiz3,r = raiz4 - r^2 ;Longrightarrow; 3r^2 = 4 - r^2 ;Longrightarrow; r^2=1 ;Longrightarrow; 0<= r<=1
Além disso theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

O elemento de volume em cilíndricas é dV = r,dz,dr,dtheta, logo
integral triplaW z,dV = integral0^2pi integral0^1 integralraiz3,r^raiz4 - r^2 z;l(r,dz,dr,dthetar)
Primeiro integramos em z:
integralraiz3r^raiz4-r^2 z,r,dz = r[z^22]z=raiz3r^z=raiz4-r^2 = r2l((4-r^2)-3r^2r) = r2l(4-4r^2r) =2r,(1-r^2)

Passo 4

Substituindo na integral restante:
integral triplaW z,dV = integral0^2pi integral0^1 2r,(1-r^2),dr,dtheta = 2pi integral0^1 2r,(1-r^2),dr
Calculemos o integral em r:
integral0^12r,(1-r^2),dr =2integral0^1(r-r^3),dr =2l[tfracr^22-tfracr^44r]0^1 =2l(tfrac12-tfrac14r) =2cdottfrac14 =tfrac12
Logo
integral triplaW z,dV = 2picdottfrac12 = pi

Resposta

pi

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