Calcule
onde
é o sólido dos pontos que ficam acima do cone de equação
, abaixo da superfície de equação
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é o sólido delimitado por:
– acima do cone de equação ,
– abaixo da superfície .
O método mais natural aqui é usar coordenadas cilíndricas , pois as duas superfícies têm simetria de revolução em torno do eixo
.
– acima do cone de equação
– abaixo da superfície
O método mais natural aqui é usar coordenadas cilíndricas
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e as superfícies ficam
O domínio
satisfaz
Para encontrar o valor máximo de
, igualamos as duas superfícies:
Além disso
varia de
a
.
Passo 3
O elemento de volume em cilíndricas é
, logo
Primeiro integramos em
:
Passo 4
Substituindo na integral restante:
Calculemos o integral em
:
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