Resolver as equações diferenciais do 2^circ tipo:
(x-y) d x-(x+y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial do segundo tipo
(x - y),dx ;-;(x + y),dy ;=;0
Este é um caso de equação homogênea de primeira ordem, pois as funções que multiplicam dx e dy são homogêneas de mesmo grau (grau 1) em x e y. Vamos usar a substituição
y = u,x,
que transforma a equação em uma de variáveis separáveis em u e x.

Passo 2

Passamos para a forma dydx. Dividindo a equação por dx:
x - y ;-;(x + y),dydx = 0 ;;Longrightarrow;; (x + y),dydx = x - y ;;Longrightarrow;; dydx = x - yx + y

Passo 3

Fazendo a troca y = u,x, temos
dydx = u + x,dudx
Substituindo em dydx = x - yx + y, obtemos
u + x,dudx = x - u,x,x + u,x, = 1 - u1 + u
Isolando du/dx,
x,dudx = 1 - u1 + u ;-; u = 1 - u - u(1 + u)1 + u = 1 - 2u - u^21 + u = -,u^2 + 2u -11 + u

Passo 4

Separamos variáveis:
1 + uu^2 + 2u -1;du = -,dxx
Para integrar o lado esquerdo, note que u^2+2u-1=(u+1)^2-2. Defina t = u+1, então dt = du e 1+u = t. A integral fica
integral tt^2-2,dt = tfrac12 integral 2tt^2-2,dt = tfrac12 lnl|t^2-2r| + C1
No lado direito,
integral -,dxx = -ln|x| + C2

Passo 5

Igualando as primitivas e reunindo constantes:
tfrac12 lnl|(u+1)^2 - 2r| = -ln|x| + C,
onde C = C2 - C1. Multiplicando por 2 e exponenciando,
lnl|(u+1)^2 - 2r| + 2ln|x| = ln|C'| ;Longrightarrow; x^2l((u+1)^2 - 2r) = C'

Passo 6

Voltemos à variável original: u = y/x, então
(u+1)^2 - 2 = l(yx + 1r)^2 - 2 = (y + x)^2x^2 - 2 = (y + x)^2 - 2x^2x^2
Multiplicando por x^2 obtém-se a solução implícita
(y + x)^2 - 2x^2 = C,
ou, de forma equivalente,
y^2 + 2xy - x^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

boxedy^2 + 2xy - x^2 = C

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