Resolver as equações diferenciais do 2^circ tipo:
(2 x-y) d x-(x+4 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0,
com M(x,y)=2x-y e N(x,y)=-(x+4y). O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, em que precisamos verificar a condição de exatidão e depois encontrar a função potencial.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando partial M/partial y e partial N/partial x:
partial Mpartial y =partialpartial y(2x-y)=-1,
partial Npartial x =partialpartial xl(-(x+4y)r)=-1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M e psiy=N. Integramos psix=2x-y em relação a x:
psi(x,y)=integral(2x-y),dx =x^2-xy+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
psiy =partialpartial yl(x^2-xy+h(y)r) =-x+h'(y) stackrel!=-(x+4y)
Isso dá h'(y)=-4y e, integrando, h(y)=-2y^2. Logo,
psi(x,y)=x^2-xy-2y^2
A solução geral implícita é psi(x,y)=C.

Resposta

x^2-xy-2y^2=C

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