Calcule integral duplaS x^2 z^2 d S, onde S é a superfície do cone 3 z^2=x^2+y^2, que está entre os planos z=1 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSx^2z^2,dS
sobre o cone definido por 3z^2=x^2+y^2 entre os planos z=1 e z=3.
O conteúdo envolvido é integral de superfície de função escalar, e vamos parametrizar S usando coordenadas cilíndricas adaptadas ao cone, calcular dS via produto vetorial e então avaliar a integral.

Passo 2

Parametrizamos o cone por
X(z,theta)=l(raiz3,zcostheta,;raiz3,zsintheta,;zr),
com zin[1,3] e thetain[0,2pi].
Calculamos os vetores parciais
Xz=(raiz3costheta,;raiz3sintheta,;1), Xtheta=(-raiz3,zsintheta,;raiz3,zcostheta,;0),
e o elemento de área
dS=llVertXztimesXthetarrVert,dz,dtheta =2raiz3,z,dz,dtheta

Passo 3

No parâmetro, temos
x=raiz3,zcostheta Longrightarrow x^2z^2=3,z^4cos^2theta
Logo o integrando vezes dS é
3,z^4cos^2theta;cdot;2raiz3,z =6raiz3;z^5cos^2theta
A integral torna-se
integral duplaSx^2z^2,dS =6raiz3 integral0^2pi!cos^2theta,dtheta integral1^3!z^5,dz

Passo 4

Calculamos separadamente
integral0^2picos^2theta,dtheta =pi, integral1^3z^5,dz =l[tfracz^66r]1^3 =3^6-16 =7286 =3643
Substituindo,
6raiz3timespitimes3643 =2cdot364,raiz3,pi =728,raiz3,pi

Resposta

728,raiz3,pi

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