Calcule as operações com matrizes.
\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 1 \\\\ 2 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & -1 \\\\ 2 & \frac{1}{3}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o produto de duas matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\[6pt] 2 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -1 \\[6pt] 2 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve multiplicação de matrizes, que se baseia na definição a seguir.]

Passo 2

Seja C = AB. Pela definição de produto matricial, cada elemento c_{ij} de C é dado por
c_{ij} = \sum_{k=1}^{2} a_{ik}\,b_{kj}.

Passo 3

Calculando a primeira linha de C:
c_{11} = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) + (1)(2) = -\tfrac{1}{6} + 2 = \tfrac{11}{6},
c_{12} = a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} = \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)(-1) + (1)\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{6}.

Passo 4

Calculando a segunda linha de C:
c_{21} = a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} = (2)\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) + \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)(2) = \tfrac{2}{3} - 1 = -\tfrac{1}{3},
c_{22} = a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} = (2)(-1) + \Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr) = -2 - \tfrac{1}{6} = -\tfrac{13}{6}.

Resposta

AB = \begin{pmatrix} \frac{11}{6} & \frac{5}{6} \\[6pt] -\frac{1}{3} & -\frac{13}{6} \end{pmatrix}.]

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