Calcule:
A=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\\\ 19 & 18 & 0 \\\\ -6 & \pi & -5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
A=\det\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\[4pt] 19 & 18 & 0 \\[4pt] -6 & \pi & -5\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei direto da matriz do enunciado):
  • Primeira linha: (3,0,0).
  • Segunda linha: (19,18,0).
  • Terceira linha: (-6,\pi,-5).
    A única pergunta é: calcular o valor numérico de A.]

Passo 2

Observação útil sobre a matriz: todos os elementos acima da diagonal principal são zeros, isto é, os elementos nas posições (1,2), (1,3), (2,3) são zero. Isso significa que a matriz é triangular inferior (ou “lower triangular”).
Uma propriedade prática (que vou usar de forma imediata) é que, se uma matriz tem muita entradas zero numa linha, vale a expansão por cofatores (ou expansão de Laplace) nessa linha — nesse caso a primeira linha tem dois zeros, então a expansão pela primeira linha é especialmente simples. Vou usar expansão pela primeira linha.
A expansão de Laplace pela primeira linha diz que
\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j} são os cofatores correspondentes. Como a_{12}=0 e a_{13}=0, sobra apenas o termo com a_{11}.

Passo 3

Aplicando a expansão pela primeira linha ao nosso caso:
A = 3\cdot C_{11}.
O cofator C_{11} é (-1)^{1+1} vezes o determinante do menor obtido removendo linha 1 e coluna 1, ou seja é simplesmente o determinante da matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}18 & 0 \\[4pt] \pi & -5\end{pmatrix}.
Portanto
C_{11}=\det M.]

Passo 4

Agora calculamos o determinante de uma matriz 2\times2. A fórmula geral é: para \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} tem-se
\det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} = a d - b c,
onde a,b,c,d são os elementos da matriz conforme a posição indicada.
Aplicando ao nosso M com a=18, b=0, c=\pi, d=-5, obtemos
\det M = 18\cdot(-5) - 0\cdot\pi = -90 - 0 = -90.

Passo 5

Voltando para A:
A = 3\cdot C_{11} = 3\cdot(-90) = -270.
Força aí — é um cálculo curto e direto: aproveitar zeros na linha facilita muito!

Resposta

-270

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