Determine as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha} \mathrm{e}[I]_{\alpha}^{\beta}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha} e [I]_{\alpha}^{\beta} no espaço V das matrizes 2\times2 triangulares inferiores. As bases fornecidas são:
Preciso expressar os vetores (matrizes) de \beta em coordenadas relativas à base \alpha para obter [I]_{\beta}^{\alpha}.
Preciso expressar os vetores (matrizes) de \alpha em coordenadas relativas à base \beta para obter [I]_{\alpha}^{\beta}.
As matrizes em V têm a forma geral \begin{pmatrix}a&0\\[4pt]b&c\end{pmatrix}, então uma forma natural de coordenadas relativa a \alpha é o vetor (a,b,c).]
Passo 2
Vamos fixar uma identificação simples entre uma matriz triangular inferior e seu vetor de coordenadas na base \alpha. Como os elementos de \alpha são
Portanto, as coordenadas dessa matriz em relação à base \alpha são exatamente (a,b,c). Esta observação facilita muito: para obter as colunas de [I]_{\beta}^{\alpha} basta pegar cada B_j\in\beta e ler seus coeficientes a,b,c.]
Passo 3
Agora extraímos as coordenadas em \alpha de cada vetor da base \beta.
Para B_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]3&0\end{pmatrix} temos a=1, b=3, c=0. Logo as coordenadas de B_1 em \alpha são (1,3,0).
Para B_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} temos a=0, b=1, c=0. Logo as coordenadas de B_2 em \alpha são (0,1,0).
Para B_3=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&2\end{pmatrix} temos a=1, b=1, c=2. Logo as coordenadas de B_3 em \alpha são (1,1,2).
Colocando essas coordenadas como colunas (na ordem B_1,B_2,B_3) obtemos a matriz de mudança de base de \beta para \alpha:
Explicação curta: cada coluna é a coordenada de B_j na base \alpha.]
Passo 4
A matriz [I]_{\alpha}^{\beta} é a inversa de [I]_{\beta}^{\alpha}, pois aplicar primeiro a mudança de \alpha para \beta e depois de \beta para \alpha deve dar a identidade (e vice‑versa). Assim
Para checar rapidamente: a primeira coluna de A^{-1} são as coordenadas de A_1 em \beta. Isso significa A_1=1\cdot B_1-3\cdot B_2+0\cdot B_3, e de fato B_1-3B_2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=A_1. A terceira coluna dá A_3=-\tfrac{1}{2}B_1+1\cdot B_2+\tfrac{1}{2}B_3, que também confere quando você soma essas matrizes.]