Questão 24 Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 \times 2 que são triangulares inferiores. Considere as seguintes bases deste espaço
\begin{aligned} & \alpha=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\} \\\ & \beta=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 3 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]\right\} \end{aligned}
Determine as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha} \mathrm{e}[I]_{\alpha}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as matrizes de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha} e [I]_{\alpha}^{\beta} no espaço V das matrizes 2\times2 triangulares inferiores. As bases fornecidas são:
\alpha=\left\{A_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}
\beta=\left\{B_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]3&0\end{pmatrix},\; B_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; B_3=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&2\end{pmatrix}\right\}
Informações relevantes listadas:
  • Preciso expressar os vetores (matrizes) de \beta em coordenadas relativas à base \alpha para obter [I]_{\beta}^{\alpha}.
  • Preciso expressar os vetores (matrizes) de \alpha em coordenadas relativas à base \beta para obter [I]_{\alpha}^{\beta}.
  • As matrizes em V têm a forma geral \begin{pmatrix}a&0\\[4pt]b&c\end{pmatrix}, então uma forma natural de coordenadas relativa a \alpha é o vetor (a,b,c).]

Passo 2

Vamos fixar uma identificação simples entre uma matriz triangular inferior e seu vetor de coordenadas na base \alpha. Como os elementos de \alpha são
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},
qualquer matriz \begin{pmatrix}a&0\\[4pt]b&c\end{pmatrix}\in V pode ser escrita como
\begin{pmatrix}a&0\\[4pt]b&c\end{pmatrix}=aA_1+bA_2+cA_3.
Portanto, as coordenadas dessa matriz em relação à base \alpha são exatamente (a,b,c). Esta observação facilita muito: para obter as colunas de [I]_{\beta}^{\alpha} basta pegar cada B_j\in\beta e ler seus coeficientes a,b,c.]

Passo 3

Agora extraímos as coordenadas em \alpha de cada vetor da base \beta.
Para B_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]3&0\end{pmatrix} temos a=1, b=3, c=0. Logo as coordenadas de B_1 em \alpha são (1,3,0).
Para B_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} temos a=0, b=1, c=0. Logo as coordenadas de B_2 em \alpha são (0,1,0).
Para B_3=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&2\end{pmatrix} temos a=1, b=1, c=2. Logo as coordenadas de B_3 em \alpha são (1,1,2).
Colocando essas coordenadas como colunas (na ordem B_1,B_2,B_3) obtemos a matriz de mudança de base de \beta para \alpha:
[I]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Explicação curta: cada coluna é a coordenada de B_j na base \alpha.]

Passo 4

A matriz [I]_{\alpha}^{\beta} é a inversa de [I]_{\beta}^{\alpha}, pois aplicar primeiro a mudança de \alpha para \beta e depois de \beta para \alpha deve dar a identidade (e vice‑versa). Assim
[I]_{\alpha}^{\beta}=\big([I]_{\beta}^{\alpha}\big)^{-1}.
Vamos inverter a matriz encontrada. Denotando
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
observamos que A é triangular por blocos da forma \begin{pmatrix}P & Q\\[4pt]0 & R\end{pmatrix} com
P=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]3&1\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad R=(2).
A fórmula para inverter um bloco triangular é
\begin{pmatrix}P&Q\\[4pt]0&R\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}P^{-1}&-P^{-1}Q\,R^{-1}\\[4pt]0&R^{-1}\end{pmatrix}.
Calculamos P^{-1} e R^{-1}:
P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-3&1\end{pmatrix}, \qquad R^{-1}=\tfrac{1}{2}.
Agora P^{-1}Q e depois -P^{-1}Q\,R^{-1}:
P^{-1}Q=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
-P^{-1}Q\,R^{-1}=-\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}\cdot\tfrac{1}{2} =\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o inverso fica
[I]_{\alpha}^{\beta}=A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -3 & 1 & 1\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Para checar rapidamente: a primeira coluna de A^{-1} são as coordenadas de A_1 em \beta. Isso significa A_1=1\cdot B_1-3\cdot B_2+0\cdot B_3, e de fato B_1-3B_2=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=A_1. A terceira coluna dá A_3=-\tfrac{1}{2}B_1+1\cdot B_2+\tfrac{1}{2}B_3, que também confere quando você soma essas matrizes.]

Resposta

[I]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
[I]_{\alpha}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -3 & 1 & 1\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados