Sejam a, b e c inteiros. Prove que:
(d) Se \operatorname{mdc}(a, b)=1, então \operatorname{mdc}\left(a^{m}, b^{n}\right)=1 onde m e n são inteiros positivos.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumindo bem devagarinho):
\;a,\;b,\;c são inteiros (isso nos diz que estamos trabalhando em \mathbb{Z}).\n
Estamos na hipótese de que \operatorname{mdc}(a,b)=1 — ou seja, a e b não têm nenhum divisor inteiro positivo comum além de 1.\n
O que precisamos provar: que, para quaisquer inteiros positivos m e n, vale
\operatorname{mdc}\bigl(a^{m},\,b^{n}\bigr)=1.

Passo 2

Ideia geral (sem cálculos ainda): tomar um divisor comum qualquer de a^{m} e b^{n} e mostrar que esse divisor só pode ser 1. Para isso vamos usar uma propriedade muito útil sobre números primos: se p é primo e p divide um produto, então p divide pelo menos um dos fatores. Essa propriedade permite concluir que se um primo divide a^{m} então ele divide a. Vou provar essa propriedade rapidamente (é uma ferramenta que aparece sempre em provas desse tipo).

Passo 3

Propriedade básica (Lema de Euclides, versão curta): se p é um número primo e p\mid xy (ou seja, p divide o produto xy), então p\mid x ou p\mid y.
Prova curta e didática: suponha p\mid xy. Se p\mid x já terminou. Caso contrário, p não divide x, então \operatorname{mdc}(p,x)=1. Pelo Teorema de Bézout (existe sempre inteiros u,v tais que up+vx=1 quando \operatorname{mdc}(p,x)=1), multiplicando por y obtemos
upy + vxy = y.
Como p\mid xy, o termo vxy é múltiplo de p; e obviamente upy também é múltiplo de p. Então a soma upy+vxy=y é múltiplo de p. Logo p\mid y. Isso mostra que se p não divide x então divide y; portanto p\mid x ou p\mid y. QED.

Passo 4

Lema aplicado a potências: se p é primo e p\mid x^{k} para algum inteiro k\ge 1, então p\mid x.
Prova por indução simples (ou por repetição da aplicação do lema anterior):
  • Para k=1 é trivial: p\mid x.
  • Suponha válido para k-1. Se p\mid x^{k} então p\mid x\cdot x^{k-1}. Pelo lema de Euclides, p\mid x ou p\mid x^{k-1}. Se p\mid x já terminamos; se p\mid x^{k-1} então, pela hipótese de indução, p\mid x. Portanto em todo caso p\mid x.
    Assim fica demonstrado que qualquer primo que divide x^{k} divide x.

Passo 5

Agora a prova principal: seja d=\operatorname{mdc}\bigl(a^{m},b^{n}\bigr). Queremos mostrar d=1.
Considere um número primo p que divida d. Como p\mid d e d\mid a^{m}, temos p\mid a^{m}; pelo lema do passo anterior segue que p\mid a. De forma análoga, d\mid b^{n} implica p\mid b^{n} e portanto p\mid b. Assim qualquer primo divisor p de d divide simultaneamente a e b.

Passo 6

Concluir por contradição com a hipótese: se existisse algum primo p que divide d, então p dividiria a e b ao mesmo tempo, o que implica \operatorname{mdc}(a,b)\ge p>1. Mas isso contradiz a hipótese \operatorname{mdc}(a,b)=1. Portanto não existe primo que divida d.
Se um inteiro positivo d não tem nenhum divisor primo, então d=1. Logo \operatorname{mdc}\bigl(a^{m},b^{n}\bigr)=d=1.

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar a intuição: tome a=2, b=9 (aqui \operatorname{mdc}(2,9)=1), m=3, n=2. Então a^{m}=8 e b^{n}=81. De fato \operatorname{mdc}(8,81)=1, porque nenhum primo divisor de 8 (que é apenas 2) divide 81, e nenhum primo divisor de 81 (que é apenas 3) divide 8. Isso ilustra a ideia do argumento anterior.

Resposta

\operatorname{mdc}\left(a^{m}, b^{n}\right)=1

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