Calcule:
\operatorname{sec} 45^{\circ} / \operatorname{sen} 30^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a razão \dfrac{\operatorname{sec} 45^{\circ}}{\operatorname{sen} 30^{\circ}}.
Informações dadas: o numerador é \operatorname{sec} 45^{\circ} e o denominador é \operatorname{sen} 30^{\circ}. Não há mais informações no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar definições básicas que usaremos: a secante é o inverso do cosseno, ou seja,
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
O seno (ou \operatorname{sen}) é a função trigonométrica habitual. Aqui precisamos dos valores exatos de \cos 45^{\circ} e \operatorname{sen} 30^{\circ}.

Passo 3

Valores trigonométricos fundamentais (lembrando que são ângulos em graus):
\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \operatorname{sen} 30^{\circ} = \frac{1}{2}.
Explicando rapidinho: \cos 45^{\circ} vale \frac{\sqrt{2}}{2} porque num triângulo isósceles de ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ os catetos têm mesmo comprimento; \sin 30^{\circ}=\tfrac12 porque num triângulo de 30^\circ,60^\circ,90^\circ o cateto oposto a 30^\circ é metade da hipotenusa.

Passo 4

Calculemos \operatorname{sec} 45^{\circ} usando a definição:
\operatorname{sec} 45^{\circ} = \frac{1}{\cos 45^{\circ}} = \frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}.

Passo 5

Simplificando a fração do passo anterior:
\frac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}.
Racionalizando (ou simplificando a raiz):
\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
Portanto \operatorname{sec} 45^{\circ} = \sqrt{2} (é um resultado clássico).

Passo 6

Agora formamos a razão pedida usando \operatorname{sec} 45^{\circ}=\sqrt{2} e \operatorname{sen} 30^{\circ}=\tfrac{1}{2}:
\frac{\operatorname{sec} 45^{\circ}}{\operatorname{sen} 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{2}}{\tfrac{1}{2}}.

Passo 7

Dividindo por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2:
\frac{\sqrt{2}}{\tfrac{1}{2}} = \sqrt{2}\cdot 2 = 2\sqrt{2}.

Passo 8

Como checagem rápida, o valor numérico é aproximadamente 2{,}828, o que faz sentido porque \sqrt{2}\approx1{,}414 e 2\cdot1{,}414\approx2{,}828.

Resposta

\;2\sqrt{2}

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