Calcule:
\sqrt{6} \cdot \operatorname{tg} 60^{\circ} / 2 \cos 30^{\circ}

Passo 1

O problema pede para calcular a expressão \dfrac{\sqrt{6}\cdot \operatorname{tg}60^{\circ}}{2\cos 30^{\circ}}.
Informações dadas explicitamente no enunciado: o número \sqrt{6} e as funções trigonométricas \operatorname{tg}60^{\circ} e \cos 30^{\circ}.

Passo 2

Vou interpretar a expressão como a fração
\frac{\sqrt{6}\cdot \tan 60^\circ}{2\cos 30^\circ}.
Isso significa que primeiro multiplicamos \sqrt{6} por \tan 60^\circ (numerador) e depois dividimos pelo produto 2\cos 30^\circ (denominador).

Passo 3

Agora precisamos dos valores exatos das razões trigonométricas envolvidas. Lembrete rápido:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Para \theta=60^\circ sabemos que \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}. Então
\tan 60^\circ=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.

Passo 4

Também usamos o valor conhecido
\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.
(Esse valor vem da geometria do triângulo equilátero/triângulo 30–60–90.)

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão original obtemos
\frac{\sqrt{6}\cdot \tan 60^\circ}{2\cos 30^\circ} = \frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{2\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}.

Passo 6

Simplificamos o denominador:
2\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}.
Portanto a expressão vira
\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Podemos simplificar os fatores \sqrt{3}. Primeiro calcule o produto no numerador se preferir:
\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
Então
\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Agora note que 3=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}, logo
\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}.

Passo 8

Finalmente multiplica-se as raízes:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.
Portanto o valor da expressão é \sqrt{6}.

Resposta

\sqrt{6}

Exercícios relacionados