Determinar
, de modo que sendo
um ângulo agudo, tenha-se:
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas relações envolvendo um ângulo agudo
:
e
. A pergunta é determinar o(s) valor(es) de
compatíveis com essas igualdades quando
é agudo. Informações importantes fornecidas:
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica fundamental (decorrente do círculo trigonométrico):
Explicando rápido: num círculo unitário, as coordenadas de um ponto no círculo são
, e pela equação do círculo
obtemos essa identidade. Aqui ela serve para ligar
e
sem conhecer
.
Passo 3
Substituímos as expressões dadas na identidade:
Agora vamos desenvolver os quadrados e simplificar passo a passo.
Passo 4
Desenvolvendo:
Somando:
Agrupando termos semelhantes:
ou seja
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
para simplificar:
Para evitar muitos decimais podemos multiplicar por
(ou reorganizar); multiplicando por
obtemos
Passo 5
Resolvemos a quadrática usando o discriminante
:
Como
,
.
Passo 6
As raízes são
Portanto
Passo 7
Precisamos checar a condição de
ser agudo (ou seja,
e
) para cada solução.
Para :
Para
Para
:
Ambas as soluções dão seno e cosseno positivos, logo ambas são compatíveis com
agudo. Observação intuitiva: as duas soluções correspondem a trocar os valores de seno e cosseno (ângulos complementares), o que é natural.