Determinar k, de modo que sendo \theta um ângulo agudo, tenha-se: \sin \theta=1-k e \cos \theta=k+0,4.

Passo 1

O enunciado dá duas relações envolvendo um ângulo agudo \theta: \sin\theta=1-k e \cos\theta=k+0,4. A pergunta é determinar o(s) valor(es) de k compatíveis com essas igualdades quando \theta é agudo. Informações importantes fornecidas:
\sin\theta=1-k, \qquad \cos\theta=k+0,4, \qquad \theta\\ \text{é agudo (logo }\sin\theta>0\text{ e }\cos\theta>0\text{).}é

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica fundamental (decorrente do círculo trigonométrico):
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Explicando rápido: num círculo unitário, as coordenadas de um ponto no círculo são (\cos\theta,\sin\theta), e pela equação do círculo x^{2}+y^{2}=1 obtemos essa identidade. Aqui ela serve para ligar \sin\theta e \cos\theta sem conhecer \theta.

Passo 3

Substituímos as expressões dadas na identidade:
(1-k)^{2}+(k+0,4)^{2}=1.
Agora vamos desenvolver os quadrados e simplificar passo a passo.

Passo 4

Desenvolvendo:
(1-k)^{2}=1-2k+k^{2}, \qquad (k+0,4)^{2}=k^{2}+0,8k+0,16.
Somando:
1-2k+k^{2}+k^{2}+0,8k+0,16=1.
Agrupando termos semelhantes:
2k^{2}+(-2k+0,8k)+(1+0,16)=1,
ou seja
2k^{2}-1,2k+1,16=1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
2k^{2}-1,2k+0,16=0.
Dividindo por 2 para simplificar:
k^{2}-0,6k+0,08=0.
Para evitar muitos decimais podemos multiplicar por 25 (ou reorganizar); multiplicando por 25 obtemos
25k^{2}-15k+2=0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática usando o discriminante \Delta:
\Delta = (-15)^{2}-4\cdot25\cdot2 =225-200=25.
Como \Delta=25, \sqrt{\Delta}=5.

Passo 6

As raízes são
k=\frac{15\pm5}{2\cdot25}=\frac{15\pm5}{50}.
Portanto
k_{1}=\frac{15+5}{50}=\frac{20}{50}=0,4, \qquad k_{2}=\frac{15-5}{50}=\frac{10}{50}=0,2.

Passo 7

Precisamos checar a condição de \theta ser agudo (ou seja, \sin\theta>0 e \cos\theta>0) para cada solução.
Para k=0,4:
\sin\theta=1-k=1-0,4=0,6>0, \qquad \cos\theta=k+0,4=0,4+0,4=0,8>0.
Para k=0,2:
\sin\theta=1-0,2=0,8>0, \qquad \cos\theta=0,2+0,4=0,6>0.
Ambas as soluções dão seno e cosseno positivos, logo ambas são compatíveis com \theta agudo. Observação intuitiva: as duas soluções correspondem a trocar os valores de seno e cosseno (ângulos complementares), o que é natural.

Resposta

k=0,2
k=0,4

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