Sendo
um ângulo agudo, faça o que se pede:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
sendo
um ângulo agudo. Informações relevantes que o enunciado dá:
Isso garante que
(na verdade
), então as funções
e
estão bem definidas para esse
.
Passo 2
Vamos lembrar a identidade pitagórica fundamental da trigonometria e explicar por que ela vale: em um círculo trigonométrico (raio
) as coordenadas de um ponto associado ao ângulo
são
. Pela geometria do triângulo retângulo ou pelo teorema de Pitágoras no círculo unitário temos
Aqui
significa
e
significa
.
Passo 3
Agora definimos as funções que aparecem na identidade em termos de
e
:
desde que
. Como
é agudo, realmente
e essas definições são válidas.
Passo 4
Substituímos a definição de
no lado esquerdo da identidade e colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Passo 5
Colocamos a soma sobre um único denominador
:
Passo 6
Usamos a identidade pitagórica do Passo 2 para simplificar o numerador:
Passo 7
Reconhecemos que
é exatamente
, pela definição de
. Portanto
como queríamos mostrar. Observação: a única condição necessária para estas manipulações é
; para ângulos agudos isso está garantido.
Passo 8
Vamos checar com um exemplo concreto para ficar mais seguro (é sempre bom testar): tome
. Sabemos que
e
. Então
portanto
. Por outro lado
confere!