Sendo \theta um ângulo agudo, faça o que se pede:
\text { Mostre que } 1+\tan ^{2} \theta=\operatorname{sec} ^{2} \theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
\text{Mostre que }1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta,
sendo \theta um ângulo agudo. Informações relevantes que o enunciado dá:
\theta \text{ é agudo} \Rightarrow 0^\circ<\theta<90^\circ.é
Isso garante que \cos\theta\neq0 (na verdade \cos\theta>0), então as funções \tan\theta e \operatorname{sec}\theta estão bem definidas para esse \theta.

Passo 2

Vamos lembrar a identidade pitagórica fundamental da trigonometria e explicar por que ela vale: em um círculo trigonométrico (raio 1) as coordenadas de um ponto associado ao ângulo \theta são (\cos\theta,\sin\theta). Pela geometria do triângulo retângulo ou pelo teorema de Pitágoras no círculo unitário temos
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Aqui \sin^{2}\theta significa (\sin\theta)^{2} e \cos^{2}\theta significa (\cos\theta)^{2}.

Passo 3

Agora definimos as funções que aparecem na identidade em termos de \sin e \cos:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta},
desde que \cos\theta\neq0. Como \theta é agudo, realmente \cos\theta>0 e essas definições são válidas.

Passo 4

Substituímos a definição de \tan\theta no lado esquerdo da identidade e colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
1+\tan^{2}\theta =1+\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^{2} =1+\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}.

Passo 5

Colocamos a soma sobre um único denominador \cos^{2}\theta:
1+\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} =\frac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} =\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}.

Passo 6

Usamos a identidade pitagórica do Passo 2 para simplificar o numerador:
\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} =\frac{1}{\cos^{2}\theta}.

Passo 7

Reconhecemos que 1/\cos^{2}\theta é exatamente \operatorname{sec}^{2}\theta, pela definição de \operatorname{sec}\theta. Portanto
1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta,
como queríamos mostrar. Observação: a única condição necessária para estas manipulações é \cos\theta\neq0; para ângulos agudos isso está garantido.

Passo 8

Vamos checar com um exemplo concreto para ficar mais seguro (é sempre bom testar): tome \theta=30^\circ. Sabemos que \sin30^\circ=\tfrac{1}{2} e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Então
\tan30^\circ=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \tan^{2}30^\circ=\frac{1}{3},
portanto 1+\tan^{2}30^\circ=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}. Por outro lado
\sec30^\circ=\frac{1}{\cos30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}},\quad \operatorname{sec}^{2}30^\circ=\frac{4}{3},
confere!

Resposta

1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta

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