Calcule:
\operatorname{sen} 345^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sin345^\circ. Aqui vamos usar identidades trigonométricas envolvendo ângulos notáveis e a redução de ângulo ao quarto quadrante, além dos valores de seno e cosseno para 30^\circ e 45^\circ.

Passo 2

Observamos que
345^\circ = 360^\circ - 15^\circ,
e como o seno no quarto quadrante é negativo, temos
\sin345^\circ = \sin\bigl(360^\circ - 15^\circ\bigr) = -\sin15^\circ.

Passo 3

Para obter \sin15^\circ, usamos a fórmula de diferença de ângulos:
\sin15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin45^\circ\,\cos30^\circ - \cos45^\circ\,\sin30^\circ.
Sabendo que \sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, \cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, \sin30^\circ=\tfrac12 e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}, segue
\sin15^\circ = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6}{4} - \frac{\sqrt2}{4} = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}.

Passo 4

Substituindo em \sin345^\circ = -\sin15^\circ, obtemos
\sin345^\circ = -\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} = \frac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}.

Resposta

\sin345^\circ = \frac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}.

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