A que quadrante pode pertencer \theta, se:
\cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Passo 1

O enunciado pede em qual quadrante o ângulo \theta pode estar, sabendo que
\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{3}.
Para resolver isso, vamos usar o círculo unitário e o fato de que o cosseno de um ângulo é a coordenada x do ponto correspondente no círculo.

Passo 2

O sinal negativo de \cos\theta indica que a coordenada x é negativa, ou seja, estamos no lado esquerdo do círculo unitário. No sistema de quadrantes, o lado esquerdo corresponde ao segundo quadrante (onde x<0, y>0) e ao terceiro quadrante (onde x<0, y<0).

Passo 3

Para determinar mais precisamente as possíveis posições de \theta, definimos o ângulo de referência \alpha como
\alpha = \operatorname{arccos}\Bigl(\bigl|\cos\theta\bigr|\Bigr) = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\bigr).
Esse \alpha não é um ângulo “notável”, mas numericamente \alpha\approx54{,}7^\circ (ou em radianos \approx0{,}955).

Passo 4

No segundo quadrante, \theta = \pi - \alpha.
No terceiro quadrante, \theta = \pi + \alpha.
Em ambos casos, \cos\theta fica negativo com valor -\tfrac{\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\theta pode estar no segundo ou no terceiro quadrante.

Exercícios relacionados