Se \operatorname{tg} a=1 / 2, calcule \operatorname{tg} 2 a e \operatorname{tg} 3 a.

Passo 1

Beleza, a gente tem \tan a = \tfrac12. Queremos \tan(2a) e \tan(3a). Para isso, vamos usar duas fórmulas clássicas:
\tan(2a) = \frac{2\,\tan a}{1 - \tan^2 a}
e
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha\,\tan \beta}.

Passo 2

Aplicando a fórmula de ângulo duplo com \tan a=\tfrac12, temos
\tan(2a)= \frac{2\cdot \tfrac12}{1 - \bigl(\tfrac12\bigr)^2} = \frac{1}{1 - \tfrac14} = \frac{1}{\tfrac34} = \frac43.

Passo 3

Para \tan(3a), escrevemos 3a = 2a + a e usamos a fórmula de soma:
\tan(3a) = \frac{\tan(2a) + \tan a}{1 - \tan(2a)\,\tan a} = \frac{\tfrac43 + \tfrac12}{1 - \tfrac43 \cdot \tfrac12}.
No numerador fica \tfrac43 + \tfrac12 = \tfrac{8}{6} + \tfrac{3}{6} = \tfrac{11}{6}
e no denominador 1 - \tfrac43 \cdot \tfrac12 = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}.
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\tan(3a) = \frac{\tfrac{11}{6}}{\tfrac{1}{3}} = \frac{11}{6}\times 3 = \frac{11}{2}.

Resposta

\displaystyle \tan(2a)=\frac43, \displaystyle \tan(3a)=\frac{11}{2}.

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