Calcule:
\operatorname{tg} 30^{\circ} / \operatorname{sen} 60^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a razão \displaystyle \frac{\operatorname{tg}30^{\circ}}{\operatorname{sen}60^{\circ}}.\n
Informações dadas pelo enunciado: ângulos envolvidos são \displaystyle 30^{\circ} e \displaystyle 60^{\circ}; as funções trigonométricas são a tangente (escrita como \displaystyle \operatorname{tg}) e o seno (escrita como \displaystyle \operatorname{sen}).\n
Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar valores conhecidos para os ângulos \displaystyle 30^{\circ} e \displaystyle 60^{\circ} usando o triângulo retângulo especial 30^\circ\text{-}60^\circ\text{-}90^\circ. Um jeito simples de construir esse triângulo é pegar um triângulo equilátero de lado \displaystyle 2 e traçar a altura: isso forma um triângulo retângulo com hipotenusa \displaystyle 2, cateto adjacente ao ângulo de \displaystyle 30^{\circ} igual a \displaystyle 1 (metade da base) e cateto oposto ao ângulo de \displaystyle 60^{\circ} igual a \displaystyle \sqrt{3} (pela razão entre os lados do triângulo).\n
Explicando passo a passo a construção e o cálculo da altura: em um triângulo equilátero de lado \displaystyle 2 a altura h satisfaz
h=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.

Passo 3

Com esse triângulo retângulo sabemos as razões trigonométricas básicas para \displaystyle 30^{\circ} e \displaystyle 60^{\circ}:
\operatorname{sen}60^{\circ}=\frac{\text{cateto oposto a }60^{\circ}}{\text{hipotenusa}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\operatorname{tg}30^{\circ}=\frac{\text{cateto oposto a }30^{\circ}}{\text{cateto adjacente a }30^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
(Se preferir, também se obtém \displaystyle \operatorname{tg}30^{\circ}=\dfrac{\operatorname{sen}30^{\circ}}{\operatorname{cos}30^{\circ}}=\dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2}=1/\sqrt{3}.)

Passo 4

Agora calculamos a razão pedida substituindo esses valores:
\frac{\operatorname{tg}30^{\circ}}{\operatorname{sen}60^{\circ}} =\frac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}} =\frac{2}{3}.
Mostrei cada multiplicação e simplificação para você poder reproduzir o cálculo na prova sem calculadora.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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