Simplifique as frações algébricas a seguir:
\frac{(x-1)^{3}-3 x(1-x)}{2 x^{2}+2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{(x-1)^{3}-3 x(1-x)}{2 x^{2}+2 x+2}.
Informações dadas:
\text{Numerador: }(x-1)^{3}-3x(1-x).
\text{Denominador: }2x^{2}+2x+2.
Objetivo: manipular algébrica e reduzir fatores comuns, se existirem, explicando cada passo.

Passo 2

Vamos trabalhar o numerador. Primeiro, expandir (x-1)^{3}. Lembre que para binômios pequenos dá para usar a fórmula do cubo ou expandir passo a passo. A expansão padrão é
(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1.
Expliquei: isso vem de (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 com a=x e b=1.

Passo 3

Agora manipule a outra parcela do numerador, -3x(1-x). Multiplicando:
-3x(1-x)=-3x+3x^{2}.
Expliquei: distribuí -3x sobre 1-x.

Passo 4

Some as duas partes do numerador, juntando os termos semelhantes. Usando as expressões do Passo 2 e Passo 3:
(x-1)^{3}-3x(1-x)=(x^{3}-3x^{2}+3x-1)+(-3x+3x^{2}).
Agora agrupamos termo a termo:
x^{3}+(-3x^{2}+3x^{2})+(3x-3x)-1.
Isso simplifica porque -3x^{2}+3x^{2}=0 e 3x-3x=0, sobrando
x^{3}-1.

Passo 5

Concluímos que o numerador se reduz a
x^{3}-1.
Observação didática: reconhecer padrões é útil — aqui (x-1)^{3}-3x(1-x) colapsou para x^{3}-1, o que é bem mais simples de fatorar.

Passo 6

Fatoramos x^{3}-1 usando a fórmula da diferença de cubos. A identidade é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Tomando a=x e b=1, obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 7

Agora fatoramos o denominador 2x^{2}+2x+2 por fator comum:
2x^{2}+2x+2=2(x^{2}+x+1).
Então a fração original, com o numerador já fatorado, fica
\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{2(x^{2}+x+1)}.

Passo 8

Vemos um fator comum (x^{2}+x+1) no numerador e no denominador; podemos cancelá-lo desde que esse fator não seja zero. Ou seja, a simplificação é válida para valores de x tais que x^{2}+x+1\neq0.

Passo 9

Verifiquemos se x^{2}+x+1 pode ser zero (para saber se a simplificação é válida para todos os x reais). O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.
Como \Delta<0, a equação x^{2}+x+1=0 não tem raízes reais. Portanto, para todo x real temos x^{2}+x+1\neq0, então o cancelamento é válido para todos os x reais.

Passo 10

Cancelando o fator comum (válido para todos os x reais) obtemos a forma simplificada da fração. (A resposta final está na seção seguinte.)

Resposta

\dfrac{x-1}{2}

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