Simplifique as frações algébricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas:
Objetivo: manipular algébrica e reduzir fatores comuns, se existirem, explicando cada passo.
Passo 2
Vamos trabalhar o numerador. Primeiro, expandir
. Lembre que para binômios pequenos dá para usar a fórmula do cubo ou expandir passo a passo. A expansão padrão é
Expliquei: isso vem de
com
e
.
Passo 3
Agora manipule a outra parcela do numerador,
. Multiplicando:
Expliquei: distribuí
sobre
.
Passo 4
Some as duas partes do numerador, juntando os termos semelhantes. Usando as expressões do Passo 2 e Passo 3:
Agora agrupamos termo a termo:
Isso simplifica porque
e
, sobrando
Passo 5
Concluímos que o numerador se reduz a
Observação didática: reconhecer padrões é útil — aqui
colapsou para
, o que é bem mais simples de fatorar.
Passo 6
Fatoramos
usando a fórmula da diferença de cubos. A identidade é
Tomando
e
, obtemos
Passo 7
Agora fatoramos o denominador
por fator comum:
Então a fração original, com o numerador já fatorado, fica
Passo 8
Vemos um fator comum
no numerador e no denominador; podemos cancelá-lo desde que esse fator não seja zero. Ou seja, a simplificação é válida para valores de
tais que
.
Passo 9
Verifiquemos se
pode ser zero (para saber se a simplificação é válida para todos os
reais). O discriminante é
Como
, a equação
não tem raízes reais. Portanto, para todo
real temos
, então o cancelamento é válido para todos os
reais.
Passo 10
Cancelando o fator comum (válido para todos os
reais) obtemos a forma simplificada da fração. (A resposta final está na seção seguinte.)