Calcule:
|lll 1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2 |

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2
Este é um caso clássico de determinante de Vandermonde; vamos usar operações de linha para chegar à forma fatorada.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha de cada uma das outras para criar zeros na primeira coluna abaixo de 1:
R2 R2 - R1, R3 R3 - R1
A matriz passa a ser
1 & a & a^2 0 & b-a & b^2 - a^2 0 & c-a & c^2 - a^2

Passo 3

Note que
b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)
Podemos então fatorar (b-a) da segunda linha e (c-a) da terceira linha, sem alterar o determinante além desses fatores:
det = (b-a)(c-a), det 1 & a & a^2 0 & 1 & b+a 0 & 1 & c+a

Passo 4

Agora expandimos o determinante menor por cofactor ao longo da primeira coluna (que tem 1,0,0):
det 1 & 1 & b+a 0 & 1 & c+a to det 1 & b+a 1 & c+a = (c+a)-(b+a) = c-b
Logo, reunindo os fatores:
det = (b-a)(c-a)(c-b)

Resposta

(b-a)(c-a)(c-b)

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