^*) Verifique que A=[ll1 & 2 3 & 4] satisfaz A^2-5 A-2 I=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2[6pt]3 & 4
e pede para verificar a identidade matricial
A^2 - 5A - 2I = 0
O conteúdo envolvido é multiplicação de matrizes, multiplicação por escalar e subtração de matrizes.]

Passo 2

Calcular A^2 usando a definição de produto de matrizes:
A^2 = Acdot A = 1 & 2[3pt]3 & 4 1 & 2[3pt]3 & 4 = 1cdot1 +2cdot3 & 1cdot2 +2cdot4[4pt] 3cdot1 +4cdot3 & 3cdot2 +4cdot4 = 7 & 10[3pt]15 & 22 ]

Passo 3

Calcular 5A multiplicando cada entrada de A por 5:
5A = 5cdot 1 & 2[3pt]3 & 4 = 5 & 10[3pt]15 & 20 ]

Passo 4

Calcular 2I, onde I é a matriz identidade 2times2:
2I = 2cdot 1 & 0[3pt]0 & 1 = 2 & 0[3pt]0 & 2 ]

Passo 5

Fazer a combinação A^2 - 5A - 2I:
A^2 - 5A = 7 & 10[3pt]15 & 22 - 5 & 10[3pt]15 & 20 = 2 & 0[3pt]0 & 2,
e então
A^2 - 5A - 2I = 2 & 0[3pt]0 & 2 - 2 & 0[3pt]0 & 2 = 0 & 0[3pt]0 & 0
Portanto a identidade é satisfeita.]

Resposta

De fato,
A^2 - 5A - 2I = 0

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