Para quais k o sistema abaixo tem solução única?
l x+y+z=1 k y+z=2 x+y+k z=3

Passo 1

Temos o sistema linear
x+y+z=1, k,y+z=2, x+y+k,z=3,
e queremos saber para quais valores de k ele tem solução única. Isso acontece exatamente quando a matriz dos coeficientes é invertível, ou seja, seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & 1 0 & k & 1 1 & 1 & k
Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!k&11&k -1cdotdet!0&11&k +1cdotdet!0&k1&1

Passo 3

Calculando cada menor:
detk&11&k = k^2 - 1, det0&11&k = 0cdot k - 1cdot1 = -1, det0&k1&1 = 0cdot1 - kcdot1 = -k
Substituindo em det(A):
det(A) = (k^2 - 1) -(-1) +(-k) = k^2 - 1 +1 - k = k^2 - k

Passo 4

Para que haja solução única precisamos de det(A)neq0, ou seja
k^2 - k neq 0 Long<=ftrightarrow k(k-1)neq0 Long<=ftrightarrow kneq0,;kneq1

Resposta

O sistema tem solução única para todo kinR tal que
kneq0e kneq1

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