Determine uma base para o espaço solução de:
l x+2 y-z+w=0 2 x+4 y-2 z+3 w=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo
x + 2y - z + w = 0, 2x + 4y - 2z + 3w = 0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss e parametrização das variáveis livres.

Passo 2

Escrevemos as equações e subtraímos duas vezes a primeira da segunda para eliminar x,y,z:
(2x+4y-2z+3w) - 2,(x+2y-z+w)=0 - 0 ;Longrightarrow; w = 0

Passo 3

Com w=0, voltamos à primeira equação:
x + 2y - z + 0 = 0 ;Longrightarrow; x = z - 2y

Passo 4

Escolhemos parâmetros para as variáveis livres y e z:
y = s, z = t, w = 0,
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x = t - 2s
Assim o vetor solução (x,y,z,w) é
(x,y,z,w) = (t - 2s,;s,;t,;0) = s,(-2,1,0,0) + t,(1,0,1,0)

Resposta

Uma base para o espaço das soluções é
,(-2,1,0,0),;(1,0,1,0)

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