Calcule |nabla f(1,1)| sendo g(r, theta)=f(x, y), com x=r cos theta.
(Dica. Faça y=r sen theta e e utilize o item c) do exercício anterior).

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a norma do gradiente de f(x,y)=l[arcsinyraizx^2+y^2r]^4 no ponto (1,1). A dica sugere usar coordenadas polares — ou seja, escrever x=rcostheta e y=rsintheta — e expressar f como uma função g(r,theta).

Passo 2

Em coordenadas polares temos r=raizx^2+y^2 e
yraizx^2+y^2=rsinthetar=sintheta
Como thetain[-tfracpi2,tfracpi2] em que arcsin(sintheta)=theta, segue
f(r,theta)=l[arcsin(sintheta)r]^4=theta^4

Passo 3

Para obter o gradiente, usamos
partialthetapartial x=-yx^2+y^2=-sinthetar, partialthetapartial y=xx^2+y^2=costhetar
Seja h(theta)=theta^4, então
partial fpartial x=h'(theta)partialthetapartial x, partial fpartial y=h'(theta)partialthetapartial y

Passo 4

Temos h'(theta)=4theta^3, logo
nabla f=4theta^3l(-sinthetar,,costhetarr)
e a norma do gradiente é
|nabla f|=4|theta^3|rraizsin^2theta+cos^2theta =4theta^3r

Passo 5

No ponto (1,1) temos r=raiz2 e theta=tfracpi4. Assim
|nabla f(1,1)|=4(pi/4)^3raiz2 =4,pi^364,raiz2 =pi^316raiz2 =pi^3raiz232

Resposta

|nabla f(1,1)|=pi^3raiz232.

Exercícios relacionados