Sejam
e
funções tais que:
1,
. Determine se cada um dos limites a seguir pode ser determinado com base nesta informação. Se ele puder, dê o valor do limite, do contrário, mostre, por uma escolha específica de
e
, que ele não pode.
Passo 1
Estamos com duas funções, uma que tende a 1 e outra que tende ao infinito. O objetivo é ver o que acontece com o produto delas quando x→∞. Vamos usar resultados da teoria de limites sobre produto de funções.
Passo 2
Sabemos pelo teorema de limites que, se uma função f tende a um limite finito L≠0 e g tende a +∞, então o produto f·g tende a +∞ se L>0, e a −∞ se L<0.
Aqui temos . Note que 1 é finito e positivo.
Também temos .
Aqui temos
Também temos
Passo 3
Como o limite de f é 1>0, a aplicação do teorema garante que
Passo 4
Como detalhe, podemos forçar uma estimativa: para x grande, f(x) fica, por exemplo, em
. Então
o que confirma rigorosamente que o produto diverge para +∞.