Sejam f e g funções tais que: lim x infty f(x)= 1, lim x infty g(x)=infty. Determine se cada um dos limites a seguir pode ser determinado com base nesta informação. Se ele puder, dê o valor do limite, do contrário, mostre, por uma escolha específica de f e g, que ele não pode.
lim x infty f(x) g(x)

Passo 1

Estamos com duas funções, uma que tende a 1 e outra que tende ao infinito. O objetivo é ver o que acontece com o produto delas quando x→∞. Vamos usar resultados da teoria de limites sobre produto de funções.

Passo 2

Sabemos pelo teorema de limites que, se uma função f tende a um limite finito L≠0 e g tende a +∞, então o produto f·g tende a +∞ se L>0, e a −∞ se L<0.
Aqui temos limxtoinftyf(x)=1. Note que 1 é finito e positivo.
Também temos limxtoinftyg(x)=infty.

Passo 3

Como o limite de f é 1>0, a aplicação do teorema garante que
limxtoinftyf(x),g(x)=+infty

Passo 4

Como detalhe, podemos forçar uma estimativa: para x grande, f(x) fica, por exemplo, em (1/2,3/2). Então
f(x)g(x)>tfrac12g(x)to+infty,
o que confirma rigorosamente que o produto diverge para +∞.

Resposta

+infty

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