Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty (-2)^n n!e^n^2

Passo 1

O exercício pede para classificar a série sumn=1^infty (-2)^n n!e^n^2 como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da razão para séries de termo geral envolvendo fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos os termos em valor absoluto
An = |(-2)^n n!e^n^2| = 2^n n!e^n^2
O teste da razão diz que, se
L = limntoinfty An+1An < 1,
então sum An converge e, portanto, a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Vamos calcular a razão:
An+1An = 2^n+1(n+1)! / e^(n+1)^22^n n! / e^n^2 = 2,(n+1),e^n^2 - (n+1)^2 = 2,(n+1),e^-2n-1

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty 2(n+1)e^-2n-1 = 0 < 1
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que sum An converge.

Passo 5

Concluímos que a série dada converge absolutamente, o que implica que ela converge. Portanto, a classificação é: absoluta convergência.

Resposta

absolutamente convergente

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