Se
for a densidade de um fio (massa por unidade de comprimento), a massa do fio é dada por
. Calcule a massa de um fio que tem a forma de um semicírculo
, admitindo que a densidade em um ponto
seja diretamente proporcional à distância ao eixo
.
Passo 1
A curva semicírculo é dada por x=1+cos , y=sin para 0≤t≤π. O assunto é massa de um fio com densidade linear variável, e vamos precisar parametrizar C, achar ds e expressar ρ em função da distância ao eixo y.
Passo 2
Parametrizando C: x(t)=1+cos , y(t)=sin . Então as derivadas são x′(t)=−sin e y′(t)=cos , e o elemento de comprimento é ds=√((x′)²+(y′)²) =√(sin²t+cos²t) =dt.
Passo 3
Como a densidade é diretamente proporcional à distância ao eixo y, temos ρ§=k·(distância ao eixo y)=k·x(t)=k(1+cos ), onde k é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
A massa do fio é dada por m=∫_Cρ ds. Substituindo a parametrização,
Passo 5
Agora basta calcular a integral:
Passo 6
Logo m=k·π.