Se rho(x, y) for a densidade de um fio (massa por unidade de comprimento), a massa do fio é dada por m=integralC rho(x, y) d s. Calcule a massa de um fio que tem a forma de um semicírculo x=1+cos t, y=sen t, 0 <= t <= pi, admitindo que a densidade em um ponto P seja diretamente proporcional à distância ao eixo y.

Passo 1

A curva semicírculo é dada por x=1+cos , y=sin para 0≤t≤π. O assunto é massa de um fio com densidade linear variável, e vamos precisar parametrizar C, achar ds e expressar ρ em função da distância ao eixo y.

Passo 2

Parametrizando C: x(t)=1+cos , y(t)=sin . Então as derivadas são x′(t)=−sin e y′(t)=cos , e o elemento de comprimento é ds=√((x′)²+(y′)²) =√(sin²t+cos²t) =dt.

Passo 3

Como a densidade é diretamente proporcional à distância ao eixo y, temos ρ§=k·(distância ao eixo y)=k·x(t)=k(1+cos ), onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 4

A massa do fio é dada por m=∫_Cρ ds. Substituindo a parametrização,
m=integral0^pi k(1+cos t),dt,

Passo 5

Agora basta calcular a integral:
integral0^pi(1+cos t),dt=integral0^pi1,dt+integral0^picos t,dt=pi+0=pi

Passo 6

Logo m=k·π.

Resposta

m = kpi

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