Determinar a equação cartesiana da elipse que tem centro
C=(0,0), focos sobre o eixo-x,
e=\frac{2}{3} (excentricidade) e passa pelo ponto
P=\left(2,-\frac{5}{3}\right).
Resolução: uma elipse com tais características (eixo maior horizontal) tem equação cartesiana da forma:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Temos que:
e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}. Assim,
c=\frac{2 a}{3}. Como
a^{2}=b^{2}+c^{2}, temos:
b^{2}=a^{2}-c^{2}=
a^{2}-\frac{4}{9} a^{2}=\frac{5}{9} a^{2}.
Substituindo na equação da elipse, temos:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{9} a^{2}}=1.
Como o ponto
P pertence à elipse, temos (substituindo o ponto
P na equação):
\frac{4}{a^{2}}+\frac{\frac{25}{9}}{\frac{5 a^{2}}{9}}=
1 \Longrightarrow \frac{4}{a^{2}}+\frac{5}{a^{2}}=1 \Longrightarrow \frac{9}{a^{2}}=1 \Longrightarrow a=3. Assim:
b^{2}=\frac{5}{9} a^{2}=\frac{5}{9} \cdot 9=5.
A equação da elipse fica da forma:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1.