Sejam os vetores \vec{u}=(1,-1,3), \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(7,4,-1).
a) Prove que \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} é base;

Passo 1

Temos os vetores \vec{u}=(1,-1,3), \vec{v}=(0,1,2) e \vec{w}=(7,4,-1) em \mathbb{R}^3. Para mostrar que \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é uma base de \mathbb{R}^3, basta provar que eles são linearmente independentes (já que são três vetores em um espaço de dimensão 3).

Passo 2

Um critério prático de independência linear em \mathbb{R}^3 é montar a matriz cujas colunas são os vetores dados e verificar se seu determinante é diferente de zero. Se
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7\\\\ -1 & 1 & 4\\\\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix},
então \det(M)\neq0 implica que as colunas de M são linearmente independentes.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o determinante de M, temos
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 2 & -1\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} +7\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 3 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-4\cdot2=-1-8=-9,
\det\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =(-1)\cdot2-1\cdot3=-2-3=-5.
Portanto,
\det(M)=1\cdot(-9)+7\cdot(-5)=-9-35=-44\neq0.
Como \det(M)\neq0, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Como são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} forma uma base de \mathbb{R}^3.

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