Encontre as coordenadas do vetor \vec{u}=(1,7,6) em relação a base \mathcal{E}=\left\{\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\}, onde \overrightarrow{e_{1}}=(1,-1,0), \overrightarrow{e_{2}}=(2,0,3) e \overrightarrow{e_{3}}=(5,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor \vec{u}=(1,7,6) como combinação linear dos vetores da base \mathcal{E}=\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}, onde \vec e_1=(1,-1,0), \vec e_2=(2,0,3) e \vec e_3=(5,-1,-2).
O conteúdo é mudança de base em \mathbb{R}^3: precisamos achar coeficientes c_1,c_2,c_3 tais que
\vec u = c_1\vec e_1 + c_2\vec e_2 + c_3\vec e_3.

Passo 2

Escrevendo a combinação em coordenadas, obtemos o sistema linear
\begin{cases} c_1 + 2c_2 + 5c_3 = 1,\\\\ -\,c_1 \;+\;0\cdot c_2 \;-\,c_3 = 7,\\\\ 0\cdot c_1 + 3c_2 - 2c_3 = 6. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação isolamos c_1 em função de c_3:
-\,c_1 - c_3 = 7 \quad\Longrightarrow\quad c_1 = -\,c_3 - 7.
Da terceira equação isolamos c_2:
3c_2 - 2c_3 = 6 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = \frac{6 + 2c_3}{3} = 2 + \frac{2}{3}c_3.

Passo 4

Substituímos c_1 e c_2 na primeira equação:
(-c_3 - 7) \;+\;2\Bigl(2 + \tfrac{2}{3}c_3\Bigr)\;+\;5c_3 = 1.
Calculando:
-\,c_3 - 7 + 4 + \tfrac{4}{3}c_3 + 5c_3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(-1 + \tfrac{4}{3} + 5\Bigr)c_3 \;-\;3 = 1
\Bigl(-\tfrac{3}{3} + \tfrac{4}{3} + \tfrac{15}{3}\Bigr)c_3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{16}{3}c_3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad c_3 = \frac{4\cdot3}{16} = \frac{3}{4}.

Passo 5

Agora obtemos c_2 e c_1:
c_2 = 2 + \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}, \qquad c_1 = -\frac{3}{4} - 7 = -\frac{31}{4}.

Resposta

\displaystyle\bigl(-\tfrac{31}{4},\;\tfrac{5}{2},\;\tfrac{3}{4}\bigr)

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