Determinar a equação cartesiana da elipse que tem centro C=(0,0), focos sobre o eixo-x, e=\frac{2}{3} (excentricidade) e passa pelo ponto P=\left(2,-\frac{5}{3}\right).
Resolução: uma elipse com tais características (eixo maior horizontal) tem equação cartesiana da forma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Temos que: e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}. Assim, c=\frac{2 a}{3}. Como a^{2}=b^{2}+c^{2}, temos: b^{2}=a^{2}-c^{2}= a^{2}-\frac{4}{9} a^{2}=\frac{5}{9} a^{2}.
Substituindo na equação da elipse, temos: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{5}{9} a^{2}}=1.
Como o ponto P pertence à elipse, temos (substituindo o ponto P na equação): \frac{4}{a^{2}}+\frac{\frac{25}{9}}{\frac{5 a^{2}}{9}}= 1 \Longrightarrow \frac{4}{a^{2}}+\frac{5}{a^{2}}=1 \Longrightarrow \frac{9}{a^{2}}=1 \Longrightarrow a=3. Assim: b^{2}=\frac{5}{9} a^{2}=\frac{5}{9} \cdot 9=5.
A equação da elipse fica da forma: \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de uma elipse com centro em C=(0,0), focos sobre o eixo x, excentricidade e=\tfrac{2}{3} e que passa por P=\bigl(2,-\tfrac{5}{3}\bigr).
Conteúdo: elipse com eixo maior horizontal, relação
e=\frac{c}{a},\quad a^2=b^2+c^2
e verificação de ponto para determinar a e b.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da elipse de eixo maior horizontal:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
Como e=\tfrac{c}{a}=\tfrac{2}{3}, segue
c=\frac{2}{3}\,a.

Passo 3

Da relação a^2=b^2+c^2 obtemos
b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - \Bigl(\tfrac{2}{3}a\Bigr)^{2} = a^2 - \frac{4}{9}a^2 = \frac{5}{9}\,a^2.

Passo 4

Como P pertence à elipse, substituímos x=2 e y=-\tfrac{5}{3} em
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
usando b^2=\tfrac{5}{9}a^2. Isso dá
\frac{2^2}{a^2} \;+\;\frac{\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)^{2}}{\tfrac{5}{9}a^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{\tfrac{25}{9}}{\tfrac{5}{9}a^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{5}{a^2} = \frac{9}{a^2} =1.
Logo a^2=9 e, por simplicidade, tomamos a=3.

Passo 5

Substituindo a^2=9 em b^2=\tfrac{5}{9}a^2 vem
b^2 = \frac{5}{9}\times 9 = 5.

Resposta

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1.

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