Exercício 5: Calcule a integral
(h)
(h)
Passo 1
Esse exercício pede para calcular a integral
. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que é a técnica ideal quando temos o produto de duas funções, uma das quais fica mais simples ao derivar.
Passo 2
A fórmula de integração por partes é
. Precisamos escolher
e
de forma estratégica: quanto mais simples for
e mais fácil for calcular
, melhor.
Passo 3
Escolhemos
$$u = \ln x,\quad dv = x^{3},dx.
du = \frac{1}{x},dx,
\quad v = \int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4}.
\quad v = \int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4}.
$$
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes temos
Passo 5
No integral remanescente simplificamos:
Passo 6
Substituindo de volta, obtemos