Exercício 5: Calcule a integral
(h) integral x^3 ln x d x

Passo 1

Esse exercício pede para calcular a integral integral x^3ln x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que é a técnica ideal quando temos o produto de duas funções, uma das quais fica mais simples ao derivar.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é integral u,dv = u,v - integral v,du. Precisamos escolher u e dv de forma estratégica: quanto mais simples for du e mais fácil for calcular v=integral dv, melhor.

Passo 3

Escolhemos
$$u = \ln x,\quad dv = x^{3},dx.
u = ln x, dv = x^3,dx ã
du = \frac{1}{x},dx,
\quad v = \int x^{3},dx = \frac{x^{4}}{4}.
$$

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes temos
integral x^3ln x,dx = u,v - integral v,du = x^44ln x - integral x^44cdot1x,dx

Passo 5

No integral remanescente simplificamos:
integral x^44cdot1x,dx = 14integral x^3,dx = 14cdotx^44 = x^416

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos
integral x^3ln x,dx = x^44ln x - x^416 + C

Resposta

x^44ln x - x^416 + C

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