Calcule P1^1(x), P2^1(x), P2^2(x) usando a fórmula

Passo 1

O enunciado pede para calcular as funções de Legendre associadas Pn^m(x) para (n,m)=(1,1),,(2,1) e (2,2) usando a fórmula
Pn^m(x)=l(1-x^2r)^m/2d^mdx^mPn(x)
Vamos precisar das expressões dos polinômios de Legendre P1(x) e P2(x) e das suas derivadas.

Passo 2

Relembrando os polinômios básicos de Legendre:
P1(x)=x,
P2(x)=12l(3x^2-1r)
Essas fórmulas vêm do método de Rodrigues ou de tabelas padrão.

Passo 3

Para n=1 e m=1 aplicamos:
P1^1(x)=(1-x^2)^1/2ddxP1(x)
Como P1(x)=x, temos dP1/dx=1. Logo,
P1^1(x)=raiz1-x^2

Passo 4

Para n=2 e m=1 aplicamos:
P2^1(x)=(1-x^2)^1/2ddxP2(x)
Derivando P2(x)=tfrac12(3x^2-1) temos dP2/dx=3x. Então,
P2^1(x)=3xraiz1-x^2

Passo 5

Para n=2 e m=2 aplicamos:
P2^2(x)=(1-x^2)^2/2d^2dx^2P2(x)=(1-x^2)d^2dx^2P2(x)
Como já vimos dP2/dx=3x, então d^2P2/dx^2=3. Logo,
P2^2(x)=3(1-x^2)

Resposta

P1^1(x)=raiz1-x^2,;P2^1(x)=3xraiz1-x^2,;P2^2(x)=3(1-x^2)

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