Usando as relações Ps+1^1-2 x Ps^1+Ps-1^1=Ps(x), Ps+m+1^m+1-2 x Ps+m^m+1+Ps+m-1^m+1=(2 m+1) Ps+m^m(x), e os resultados do exercício 1), calcule os polinômios .

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos obter os polinômios de Legendre associados de grau 3 e ordens 1, 2 e 3, isto é, P3^1(x), P3^2(x) e P3^3(x), usando as relações dadas e os resultados do exercício 1.

Passo 2

Do exercício 1 sabemos que o polinômio associado de Legendre satisfaz a fórmula de Rodrigues generalizada:
Ps^m(x) = (1 - x^2)^m/2 , d^mdx^mPs(x)
Precisamos então de P3(x) e suas derivadas até terceira ordem. Como
P3(x) = 12l(5x^3 - 3xr),
calculamos
ddxP3(x) = 32(5x^2 - 1), d^2dx^2P3(x) = 15x, d^3dx^3P3(x) = 15

Passo 3

Para m=1 aplicamos a fórmula de Rodrigues:
P3^1(x) = (1 - x^2)^1/2ddxP3(x) = 32(5x^2 - 1),(1 - x^2)^1/2
Para m=2 temos
P3^2(x) = (1 - x^2)d^2dx^2P3(x) = 15x,(1 - x^2)
Para m=3 obtemos
P3^3(x) = (1 - x^2)^3/2d^3dx^3P3(x) = 15,(1 - x^2)^3/2

Resposta

P3^1(x)=32(5x^2-1)(1-x^2)^1/2, P3^2(x)=15x(1-x^2), P3^3(x)=15(1-x^2)^3/2

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