1. Usando a representação em série das funções de Bessel da primeira espécie, prove que J0(x=0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função de Bessel da primeira espécie de ordem zero, definida por sua série de potências, satisfaz J0(0)=1. Vamos usar a representação em série para isso.

Passo 2

A definição em série da função de Bessel de ordem n é
Jn(x)=summ=0^infty(-1)^mm!,Gamma(m+n+1)(x2)^2m+n
Para n=0 temos Gamma(m+1)=m!, logo
J0(x)=summ=0^infty(-1)^mm!,m!(x2)^2m=summ=0^infty(-1)^m(m!)^2(x2)^2m

Passo 3

Agora basta avaliar em x=0: para todo m>=1, o fator (x/2)^2m=(0/2)^2m=0, então todos os termos com m>=1 somam zero. O único termo não nulo é o de m=0:
(-1)^0(0!)^2(02)^0=1

Resposta

J_0(0)=1

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