Calcule os parâmetros do modelo GGS para a seguinte amostra:
d(mu m) 90 120 140 200 270 350 500
y(%) 7 17 27 61 85 99 100

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo para calcular os parâmetros do modelo GGS usando uma tabela com tamanhos de partículas (em micrômetros) e suas porcentagens acumuladas. O conteúdo aqui envolve modelagem de distribuição granulométrica, que ajuda a entender como as partículas estão distribuídas em diferentes tamanhos. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é o modelo GGS e como ajustar os dados a ele para encontrar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o modelo GGS. O modelo GGS é uma equação usada para descrever a distribuição cumulativa de partículas em diferentes tamanhos. Geralmente, ele tem a forma:
y = 1001 + (dd50)^n
Onde:
  • $ y $ é a porcentagem acumulada,
  • $ d $ é o diâmetro da partícula,
  • $ d_{50} $ é o diâmetro para o qual 50% das partículas são menores,
  • $ n $ é um parâmetro que indica a inclinação da curva.
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ d_{50} $ e $ n $ que melhor se ajustem aos dados fornecidos.

Passo 3

Vamos organizar os dados:
$ d(\mu m) $ 90 120 140 200 270 350 500
$ y(%) $ 7 17 27 61 85 99 100
Vamos usar o método de regressão não-linear para ajustar nosso modelo GGS a esses dados. Mas, para simplificar, podemos transformar a equação e aplicar uma regressão linear.
Primeiro, rearranjamos a equação para isolarmos os parâmetros:
d(mu m)
Tomamos o logaritmo de ambos os lados para linearizar:
y(%)
Isso nos permite usar métodos de regressão linear para estimar $ n $ e $ d_{50} $.

Passo 4

Vamos calcular os valores de $ \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $ e $ \ln(d) $ para cada par de dados:
$ d(\mu m) $ $ y(%) $ $ \frac{100}{y} - 1 $ $ \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $ $ \ln(d) $
90 7 $ \frac{100}{7} - 1 \approx 13.4286 $ $ \ln(13.4286) \approx 2.596 $ $ \ln(90) \approx 4.4998 $
120 17 $ \frac{100}{17} - 1 \approx 4.8824 $ $ \ln(4.8824) \approx 1.585 $ $ \ln(120) \approx 4.7875 $
140 27 $ \frac{100}{27} - 1 \approx 2.7037 $ $ \ln(2.7037) \approx 0.996 $ $ \ln(140) \approx 4.9416 $
200 61 $ \frac{100}{61} - 1 \approx 0.6393 $ $ \ln(0.6393) \approx -0.447 $ $ \ln(200) \approx 5.2983 $
270 85 $ \frac{100}{85} - 1 \approx 0.1765 $ $ \ln(0.1765) \approx -1.734 $ $ \ln(270) \approx 5.598 $
350 99 $ \frac{100}{99} - 1 \approx 0.0101 $ $ \ln(0.0101) \approx -4.595 $ $ \ln(350) \approx 5.8579 $
500 100 $ \frac{100}{100} - 1 = 0 $ Não é definido $ \ln(500) \approx 6.2146 $
Notamos que para $ y = 100% $, a expressão $ \frac{100}{y} - 1 = 0 $ e o logaritmo não está definido. Portanto, excluiremos esse ponto da análise.

Passo 5

Agora, temos pontos para os quais podemos aplicar a regressão linear:
$ \ln(d) $ $ \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $
4.4998 2.596
4.7875 1.585
4.9416 0.996
5.2983 -0.447
5.598 -1.734
5.8579 -4.595
Vamos considerar $ x = \ln(d) $ e $ y’ = \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $.
Usando a fórmula da regressão linear $ y’ = a + b \cdot x $, onde $ b = n $ e $ a = -n \cdot \ln(d_{50}) $, calculamos os coeficientes $ a $ e $ b $.
Calculando os valores médios:
ln(d)
ln(100y - 1)
Calculamos agora a covariância e a variância:
x = ln(d)
y' = ln(100y - 1)
Assim, o coeficiente $ b $ é:
y' = a + b cdot x
E o coeficiente $ a $:
b = n

Passo 6

Agora, sabemos que:
a = -n cdot ln(d50)
b = n
Então, podemos resolver para $ n $:
n
E para $ d_{50} $:
n = b approx -42.19
d50
a = -n cdot ln(d50)
210.81 = 42.19 cdot ln(d50)

Resposta

Os parâmetros do modelo GGS são:
  • $ d_{50} \approx 148.41 \ \mu m $
  • $ n \approx -42.19 $

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