Calcule os parâmetros do modelo GGS para a seguinte amostra:
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90 | 120 | 140 | 200 | 270 | 350 | 500 |
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7 | 17 | 27 | 61 | 85 | 99 | 100 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo para calcular os parâmetros do modelo GGS usando uma tabela com tamanhos de partículas (em micrômetros) e suas porcentagens acumuladas. O conteúdo aqui envolve modelagem de distribuição granulométrica, que ajuda a entender como as partículas estão distribuídas em diferentes tamanhos. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é o modelo GGS e como ajustar os dados a ele para encontrar seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o modelo GGS. O modelo GGS é uma equação usada para descrever a distribuição cumulativa de partículas em diferentes tamanhos. Geralmente, ele tem a forma:
Onde:
- $ y $ é a porcentagem acumulada,
- $ d $ é o diâmetro da partícula,
- $ d_{50} $ é o diâmetro para o qual 50% das partículas são menores,
- $ n $ é um parâmetro que indica a inclinação da curva.
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ d_{50} $ e $ n $ que melhor se ajustem aos dados fornecidos.
Passo 3
Vamos organizar os dados:
$ d(\mu m) $ | 90 | 120 | 140 | 200 | 270 | 350 | 500 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
$ y(%) $ | 7 | 17 | 27 | 61 | 85 | 99 | 100 |
Vamos usar o método de regressão não-linear para ajustar nosso modelo GGS a esses dados. Mas, para simplificar, podemos transformar a equação e aplicar uma regressão linear.
Primeiro, rearranjamos a equação para isolarmos os parâmetros:
Tomamos o logaritmo de ambos os lados para linearizar:
Isso nos permite usar métodos de regressão linear para estimar $ n $ e $ d_{50} $.
Passo 4
Vamos calcular os valores de $ \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $ e $ \ln(d) $ para cada par de dados:
$ d(\mu m) $ | $ y(%) $ | $ \frac{100}{y} - 1 $ | $ \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $ | $ \ln(d) $ |
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90 | 7 | $ \frac{100}{7} - 1 \approx 13.4286 $ | $ \ln(13.4286) \approx 2.596 $ | $ \ln(90) \approx 4.4998 $ |
120 | 17 | $ \frac{100}{17} - 1 \approx 4.8824 $ | $ \ln(4.8824) \approx 1.585 $ | $ \ln(120) \approx 4.7875 $ |
140 | 27 | $ \frac{100}{27} - 1 \approx 2.7037 $ | $ \ln(2.7037) \approx 0.996 $ | $ \ln(140) \approx 4.9416 $ |
200 | 61 | $ \frac{100}{61} - 1 \approx 0.6393 $ | $ \ln(0.6393) \approx -0.447 $ | $ \ln(200) \approx 5.2983 $ |
270 | 85 | $ \frac{100}{85} - 1 \approx 0.1765 $ | $ \ln(0.1765) \approx -1.734 $ | $ \ln(270) \approx 5.598 $ |
350 | 99 | $ \frac{100}{99} - 1 \approx 0.0101 $ | $ \ln(0.0101) \approx -4.595 $ | $ \ln(350) \approx 5.8579 $ |
500 | 100 | $ \frac{100}{100} - 1 = 0 $ | Não é definido | $ \ln(500) \approx 6.2146 $ |
Notamos que para $ y = 100% $, a expressão $ \frac{100}{y} - 1 = 0 $ e o logaritmo não está definido. Portanto, excluiremos esse ponto da análise.
Passo 5
Agora, temos pontos para os quais podemos aplicar a regressão linear:
$ \ln(d) $ | $ \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $ |
---|---|
4.4998 | 2.596 |
4.7875 | 1.585 |
4.9416 | 0.996 |
5.2983 | -0.447 |
5.598 | -1.734 |
5.8579 | -4.595 |
Vamos considerar $ x = \ln(d) $ e $ y’ = \ln\left(\frac{100}{y} - 1\right) $.
Usando a fórmula da regressão linear $ y’ = a + b \cdot x $, onde $ b = n $ e $ a = -n \cdot \ln(d_{50}) $, calculamos os coeficientes $ a $ e $ b $.
Calculando os valores médios:
Calculamos agora a covariância e a variância:
Assim, o coeficiente $ b $ é:
E o coeficiente $ a $:
Passo 6
Agora, sabemos que:
Então, podemos resolver para $ n $:
E para $ d_{50} $:
Resposta
Os parâmetros do modelo GGS são:
- $ d_{50} \approx 148.41 \ \mu m $
- $ n \approx -42.19 $