Calcule partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde x+y^4x^2+y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0)

Passo 1

A questão define a função f(x,y) de forma peça a peça e pede as derivadas parciais. O conteúdo aqui é aplicação da regra do quociente para (x,y)≠(0,0) e definição de derivada parcial via limite no ponto (0,0). Vamos precisar lembrar que, para f(x,y)=N/D, vale partialx f=(D,partialx N - N,partialx D)/D^2 (e parecido para y), e que no ponto (0,0) usamos partialx f(0,0)=limhto0[f(h,0)-f(0,0)]/h.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), seja N=x+y^4 e D=x^2+y^2. Então partialx N=1 e partialx D=2x. Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x(x,y)=Dcdot1 - Ncdot2xD^2 =x^2+y^2 -2x(x+y^4)(x^2+y^2)^2 =-x^2 + y^2 -2xy^4(x^2+y^2)^2

Passo 3

Para (x,y)neq(0,0), seja partialy N=4y^3 e partialy D=2y. Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y(x,y)=Dcdot4y^3 - Ncdot2yD^2 =4y^3(x^2+y^2) -2y(x+y^4)(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3 +2y^5 -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

No ponto (0,0), calculamos partialx f(0,0) por definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-0h =limhto0h+0h^2+0h =limhto01/hh=limhto01h^2=+infty,
logo a derivada parcial em x não existe no sentido de dar um valor finito.

Passo 5

Para partialy f(0,0), usamos:
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-0h =limhto00+h^40+h^2h =limhto0h^2h=limhto0h=0

Resposta

As derivadas parciais são:
Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y)=-x^2 + y^2 -2xy^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y)=4x^2y^3 +2y^5 -2xy(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
partial fpartial x(0,0) não existe (diver>=), partial fpartial y(0,0)=0 ã

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