Resolva as integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx(4x^2-9)^3/2. O conteúdo é integração de expressões que envolvem raiz de quadrática, e vamos usar substituição trigonométrica para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição x=tfrac32sectheta, pois assim 4x^2-9=9tan^2theta. Calculamos também dx=tfrac32secthetatantheta,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral dx(4x^2-9)^3/2 = integral tfrac32secthetatantheta,dtheta(3tantheta)^3 = 118integral secthetatanthetatan^3theta,dtheta = 118integral secthetatan^2theta,dtheta

Passo 4

Usando tan^2theta=sec^2theta-1 ou escrevendo sectheta/tan^2theta=costheta/sin^2theta, a integral vira
118integral costhetasin^2theta,dtheta = 118l(-1sinthetar)+C = -118sintheta+C

Passo 5

Voltando a variável x, temos sectheta=tfrac2x3 e sintheta=tfracraiz4x^2-92x. Logo
-118sintheta = -118,tfracraiz4x^2-92x = -x9raiz4x^2-9

Resposta

-x9raiz4x^2-9 + C

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